费马点的证明与背景(证明要有图)

费马点的证明

如图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。

合并图册

合并图册(2张)

以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD

∵旋转60°，且BD=BP，

∴△DBP 为一个等边三角形

∴PB=PD

因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC

由此可知当E、D、P、C 四点***线时， 为PA+PB+PC最小

若E、D、P***线时，

∵等边△DBP

∴∠EDB=120°

同理，若D、P、C***线时，则 ∠CPB=120°

∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。

历史背景

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。

著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。