数学是人类思维的产物吗？
如果我们着眼于物理理论本身，那么很明显，物理理论是不存在的。这个世界上没有叫牛顿物理学的具体东西，这个世界上也没有叫电动力学的东西。物理理论的确是人类精神的产物。或者换一种说法，物理理论是人类发明的！所以回到我们的数学这门学科，数学理论都是人构想出来的，是所谓人类精神的产物。
其实这已经回答了题主的问题，但我猜题主其实问的是数学理论和现实世界有什么联系，是不是像物理学一样？如果那是你自己心里的想法，我可以再谈谈我对数学的看法，从一个数学博士生的角度。我会穿插一些我对物理的看法，但我不懂物理，有错误请好心指出。
这种关于数学理论与现实关系的讨论，我看了很多。感觉大部分辩论其实都是纯粹的哲学讨论，很不接地气。不接地气意味着他们并不真正了解现实生活中数学家的状态。他们在做什么？他们对什么着迷？他们在庆祝什么？他们是因为什么获得大奖的？这些问题的答案是理解数学理论与现实关系的最佳角度。我不能回答每一个问题，但我希望从“他们在做什么？”来说明我的观点:纯数学与现实没有直接联系，但它的理论动力可能来自于现实。
数学和物理最大的区别在于，物理永远有两个部分，一个是理论，一个是现实。物理学家的终极目标是解释一种物理现象。只要一个物理现象能被成功解释，相应的理论就是好理论。再美的理论，只要不能解释现实中的某种现象，就应该被抛弃。如果一个物理学家声称他有一个理论可以解释“绿洞”(我发明的一种天体，类似于黑洞)的形成机制，那么他的同事肯定不会接受，因为我们根本就没有发现过“绿洞”。所以物理学家都有一个相同的目标:构建一个理论来解释一个现象，或者在他们的研究兴趣范围内检验一个理论是否错误(因为没有办法知道这个理论是否正确)。前者对应一个理论物理学家，后者对应一个实验物理学家。对于物理学家来说，最开心的事情莫过于自己理论的一个预言被证实，或者发现了一个与理论不符的实验结果，有更多的机会创造新的理论。但是记住，理论就是理论，它能解释现实，解释多少才是最重要的。
(以下数学一词相当于纯数学。至于应用数学，我就提一下。)而数学根本不是这样的！数学在我的理解里只有一部分，就是数学理论。以至于我们一般不用这个词，只是用数学本身来代替。由于数学科普的缺失，很多人对数学的理解其实到了微积分就止步了。微积分的发明真的是为了解决物理问题，所以很多人觉得数学和物理之间有不清楚的地方。另外，工科数学是大部分理科生需要掌握的，所以很多人的印象是数学只是计算。不幸的是，真正的数学的面貌完全不同。
数学的发展主要是由问题驱动的，问题本身能被驱动的原因有很多。有时候问题来自物理学的需要，有时候问题来自数学本身的其他分支。总之，所有能让数学家感兴趣的问题都是好问题。这也导致了数学家所想的并不能与现实世界直接相关。好的数学理论应该是尽可能系统地回答一个数学问题。在寻找的过程中，人们会逐渐发展出新的理论，或者抽象出一个理论，使之不局限于原来的问题。毫不夸张地说，基本上数学家在自由散漫的过程中，相对“任意”地创造了任何数学理论。这种任意性似乎让一些人感到非常不安，认为数学似乎完全可以自由创造。我在这里给出我的看法:数学和艺术没什么区别，都是自由创作，创作动机多种多样。然而，并不是任何创造都被称为好的创造。好的创作往往是有趣的、有见地的、系统的、有力的。让我举几个例子来说明。
(下面这个例子可能不是真正历史意义上的真实。但是讨论我的观点基本没有问题。欢迎指正)
例1:群论的起源来源于一个很简单的问题:五次方程有没有像二次方程一样的根式解？至于为什么要回答这个问题，答案是数学家可以找到四次多项式方程的根解，但是五次都找不到。那么我们究竟为什么要找到根本的解决办法呢？数学家开始思考二次方程的解法，是因为他们发现线性方程在生活中非常有用，也找到了线性方程的一般解法。解了两次后，他们觉得三次有意思，于是继续想办法找了三次。最后找了四次，都找不到超过四次的。所以很多数学家希望证明五次方程根本不存在一般的根解。
问题本身可能来源于生活，也可能来源于物理，但是一旦进入数学家的视线，继续研究基本都是兴趣本身在推动。)
五次方程的一般根式解好像是100年以上(？)没有给出满意的答案。有数学家给出了证明，但不够系统。直到伽罗瓦考虑了一件事:把一个给定的五次方程(也就是五个)的所有根都拿出来，然后考虑这五个根的所有旋转。它用组这个词来描述所有旋转形成的集合。他发现当这个集合满足一定条件时，这个五次方程没有根式解。那个时候，群体的概念还处于初级阶段，不像今天的定义那么抽象。数学家觉得这个概念很有意思，开始研究一般方程的根的旋转。数学家们马上意识到，一个旋转后面跟着一个旋转本身就是一个旋转。另外，你可以旋转过去，也可以旋转回来。于是他们不满足于研究根的旋转，开始研究满足这样条件的一般集合。这样，他们就完全抽象出了一个叫群的新概念，规定群是由一个集合和对集合的二元运算组成的。这种二元运算对应的是原轮换组中“紧接着”的概念。此外，这些二元运算必须满足一些基本的性质。这样，群的概念被大多数人研究，因为人们在其他地方也发现了有这个概念的实体。
(所以数学家创造一个东西，完全是因为他们解决问题的需要，因为他们发现新的东西很有趣，因为他们想把研究对象尽可能抽象，使解决一个问题的手段尽可能强大和有用。)
例2:点集拓扑学、代数拓扑学、同调代数、范畴论拓扑学的概念最早来自于欧拉在金斯堡的《七座桥》。在格涅斯堡有七座桥，当地的人们都在思考是否可以不走回头路去参观每一座桥。
研究动机可能来源于现实生活，但那就与现实无关了。
为了解决这个问题，欧拉用直线代替了桥，用点代替了桥所连接的岛屿，然后发现问题在于是否可以画过每个点而不重复。欧拉很自然的给出了答案。但是人们发现了一个很重要的事情，线段的长度不重要，点的大小也不重要。重要的是点是如何链接的。这在当时是一种新的几何学。过去，人们研究具有特定属性的事物，如长度、大小和面积。但是拓扑学没有这些东西。在拓扑学中，任何两个物体都可以不加区分地通过连续变形从对方获得。人们要研究的是连续变形下的不变性质。例如，在片麻岩中的七座桥的情况下，桥的长度并不重要。重要的是，无论我们如何缩小每一座桥，我们都不可能不重复走过每一座桥。这个属性是一个拓扑属性。
到了这个时候，人们已经开始无视现实，只想着一些新的发现。
发现这个新的几何之后，大家都开始研究起来。很多人逐渐意识到，一个有趣的结论是，一个曲面的拓扑性质完全是由它有多少个洞决定的。比如圆和圆盘在拓扑意义上是不等价的。因为圆包围的东西是“洞”，圆盘没有洞，圆盘其实可以不断收缩到它的中心，但如果圆收缩了，必然会撕裂，这是不允许的。但是如何描述这个洞呢？洞是不在那个物体上的东西，但你只有这个物体。你如何用数学语言描述不在上面的东西？庞加莱给出了答案。他给每个几何对象一个堆号(Betti数)，然后拓扑性质相同的几何对象就有了相同的号。它用这个数字来描述不同维度的洞。比如一个圆的Betti数是1，1后都是0，说明有一个“0维”的洞，有一个“1维”的洞。后人沿着这个思路给每个几何对象放一个群，叫做同调群，同调群中的一个性质就是这个堆数。代数拓扑就这样诞生了。顾名思义，代数拓扑就是用代数的方法研究拓扑。之前说的那一组，当时的人已经研究了很多，所以很多结论只是碰巧用到了。
所以我个人认为，这里的数学发展与当时的七桥问题无关。从“七桥”问题开始，人们发现了许多新问题，开发了新工具。这些新问题都是数学本身的有趣问题，不是来自现实。
自然大家又开始研究代数拓扑了。然而，当时人们用非常不精确的语言和许多模棱两可的语言来描述他们所研究的几何对象。为了让一切都基本化、形式化、更可靠，点集拓扑应运而生。当然，点集拓扑学也来源于其他研究动机，这里就不说了。代数拓扑的研究到现在也是一个非常热门的领域，但是这个领域越来越抽象复杂，自然它的普适性也越来越大。在研究的过程中，人们发现了一些现象:同调群与几何对象之间的许多关系都是纯代数问题。而由此衍生出来的工具，其实也可以在后台使用，不需要几何！于是人们把这种方法抽象出来，独立于几何，衍生出一种新的代数，叫做同调代数。在同调代数中，虽然每个定义背后都有一个代数拓扑中的原点，但它实际上是存在于代数拓扑之外的。而且，这样的抽象并不是为了抽象而抽象。后来人们发现同调代数本身就是一个强有力的工具，可以用来研究其他代数领域，比如群论、交换代数、代数几何等等。总之应用相当广泛。
(所以数学家的抽象不是为了抽象而抽象。虽然看起来他们随意创造理论，但每次事实都证明这种抽象不仅更有趣，还提供了新的思维方法和新的工具。这些创造的动力可能来自于一百年前的一个真题，此后更多的是来自于数学家自身对数学结构的思考。
接着，人们认识到一个新的现象:在代数拓扑中，不仅几何对象存在同调群，如果几何对象之间存在关系(连续映射)，那么对应的同调群之间也存在对应关系(群同态)。为了研究这一现象，人们发明了范畴理论。例如，所有具有几何图形的对象的集合形成了一个类别，称为拓扑类别。所有群形成的范畴称为群范畴，以此类推。(当然范畴论显然不是那么傻的把事情放在一起，里面有很多东西，这里就不详细解释了。)随着对范畴论的研究，人们发现数学中几乎所有的结构、现象和性质都可以用范畴论的语言来描述。换句话说，我们不需要在每一个范畴里反复证明本质相同但形式不同的结论，一次就够了。现在这种语言已经成为每一个做代数和几何的数学家的必备语言，甚至是一种思维方式。
总结:数学与现实的联系有多紧密，取决于数学家在做什么。如果我们想更清楚地理解它，就更有必要学习现代数学。毕竟上面的科普比较粗糙，不严谨。一般来说，纯数学的发展本身与现实没有直接关系。数学家大多寻找自己感兴趣的问题，然后寻找解决方案，并在途中创造新的数学结构甚至全新的数学分支。同时，数学家喜欢不断抽象，让自己的工具更强大，或者让有趣的性质被独立研究。抽象出的工具将被应用到其他领域。就这样，数学家们继续发展新的理论，这些理论继续杂交形成新的数学分支。然而，绝大多数的研究动机其实并不来自现实，而是来自数学本身。这也是为什么普及数学这么难的原因，因为科普的一个本质内容，在我看来就是研究动机和研究本身的价值。因为这些动机和价值不在这个世界而大多在数学本身，外人很难理解，也很难做科普。
越来越抽象的数学意味着更广泛的应用，于是数学之外的人把这些研究成果应用到其他分支。在这里，物理学是主要受众，他们不断影响数学，不断使用新的数学结论。还有人试图优化一些数学结果，让他解决一些实际问题。所以这些人发展了所谓的应用数学。
总的来说，数学是数学，物理是物理。数学和现实没有直接联系。不管怎么看，我相信大部分数学家关心的不是现实，而是美好有趣的问题和数学结构。而物理是永远关心现实的学科。