几种常见的正交小波

（1）Harr小波见［例6-1］。

（2）Littlewood-Paley基，它的数学表示式为

ψLP（t）=（πt）-1（sin2πt-sinπt） （6-99）

当t→∞时，它的振幅按 速度衰减，因此，其时域局域化性质差。但它的傅氏变换为

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是一个紧支撑函数，因此该小波基具有良好的频域局域化性质，可以证明，它是L2（R）的一个标准正交基。

（3）Meyer小波，其尺度函数（在频域内的形式）为

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式中v（t）是满足下列条件

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的一个光滑函数｛可取v（t）=t4（35-84t+70t2-20t3）（0≤t≤1）｝。Φ（ω）的曲线见图6-20所示。

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所构造标准正交小波为：

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曲线Ψ（ω）见图6-21所示。

（4）Batlle-Lemarie小波，尺度函数为一次样条函数时

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φ（t）的傅氏变换 如图6-22所示。尺度函数为二次样条函数时

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如图6-23所示。此时，φ（t）的傅氏变换为

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同样，还可利用N阶样条来构造正交的尺度函数和小波函数，这就是Battle—Lemarie小波函数系列。该小波系列有如下几个特点：

1）是非紧支集，即它们的定义域不是有限范围的；

2）样条函数阶次N越大，小波函数越光滑，其衰减就越缓慢。对指数衰减性要求而言，这种小波函数的光滑阶是有限的；

3）N阶样条函数的对称性与由它构造出的正交尺度函数φ（t）的对称性相同，但Battle-Lemarie系列小波函数ψ（t）都关于t=1/2对称。

图6-22 尺度函数为一次样条函数所构造Battle-Lemarie小波

图6-23 尺度函数为二次样条函数所构造Battle-Lemarie小波

（5）Daubechies紧支集正交小波

对于正交小波，我们希望它是有限支集的，以使Mallat算法（后面介绍）更快捷；希望它是光滑的，以便高精度地模拟和分析信号；希望它的时域和频域的局部化能力是很强的，以便在信号分析处理中发挥突出的作用。Ingrid Daubechies为此做出了杰出的贡献，她构造了Daubechies小波函数，所有有关小波分析的著作中都讨论和引用了Daubechies小波。虽说此小波没有明确的表达式（除一阶形式，即Haar小波外），但双尺度函数h的平方模有显式表达，即：假设 ，其中 为二项式的系数，则有

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其中 ，详细见本章最后一节。