归一化总梯度的计算方法

必须指出，这里的归一化函数ΔgH（ζ）已不是解析调和函数，所谓对之“延拓”求奇点，也仅是借用原来的概念而已。此外，再深入研究一下ΔgH（ζ)，可以发现它并不是一个稳定的函数，随z的增加，它将越来越不稳定，会出现许多附加的极值。因此，实际应用中，并不用观测面内的归一化重力异常ΔgH（ζ）（这是因为重力异常观测值中的随机误差和级数舍去误差γN（ζ）随着下延深度增加而越来越大，致使下延结果畸变），而是用观测剖面内重力异常的总梯度（即Vxz和Vzz矢量和的模）作归一化函数。它同归一化的ΔgH（ζ）一样，当归一化总梯度延拓至场源时，将有极大值。同样可根据其极值来判断场源或奇点的位置。

此外，归一化总梯度的余项和随机误差对下延结果的影响，要比归一化重力异常小得多。归一化总梯度的定义为

勘探重力学与地磁学

式中：G（x，z）为观测点（xoz沿垂面）上的重力总梯度的模；为深度z上M＋1个点的总梯度模的平均值；M为测点的间隔数。可以看出，GH（x，z）是一个无量纲的量。在xoz面内，要按一定深度间隔计算出各点的GH（x，z)，就可勾划出下半空间内的GH（x，z）的等值线图。

下面介绍由观测剖面上的重力异常Δg计算下半空间各点的Vxz和Vzz的方法（也可直接用扭秤实测出Vxz和Vzz）。常用的换算方法是以傅里叶级数来表示Δg（x，z），然后求导数得到Vxz和Vzz。在实际工作中，级数必然是有限的，在计算时，可用正弦级数与余弦级数来表示，从而使问题变得更简便。若测线上两个端点的重力值为零，则正弦级数收敛得更快。为了使两端点的重力值为零，可对测线上的某一个点的Δg（x，0）减去线性项a-bx，其中a为测线起点的重力值Δg起（x，0）；b＝Δg起（x，0）-Δg未（x，0）/L，Δg未为测线末端的重力值，L为测线长度。由于在测线两端点的重力异常为零的条件下，正弦级数的收敛较余弦级数快，因此选正弦级数表示下半平面内的重力异常，则

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其中：

式中：Bn为谐波数；N为项数；为下延因子。对（11-65）式求导得

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Bn的离散求和形式为

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式中：x＝jΔx（j＝0，1，2，…，M）；Δx为点距；M为总点数；M＝L/Δx；Δg（jΔx）为测线L上第j点的实测重力值。

为了减小由随机干扰和测线端部场的截断而引起的下半平面中GH（x，z）曲线的剧烈跳动（所谓振荡效应），还必须对Bn乘上一个圆滑因子qm，以增强延拓过程的稳定性。

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式中：m＝1，2，3，…；N为总项数；qm的数值从1变到零，n越大（高频部分）受到的圆滑作用越强，说明qm对高频（波数）成分有明显的压抑作用。在石油勘探中m＝2较为合适。因此计算Vxz，Vzz的公式应为

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在以后许多人的研究中，仿照B.Cianciara等人提出的相位概念，增加与总梯度图相对应的相位图，其计算公式为

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需要指出的，级数的总项数（谐波数）N是一个甚为关键的参数，在观测误差及测线长度一定的条件下，它的取值将决定是否能正确定出场源的位置，GH（x，z）的极值以及出现极值的深度均随N值而异。在实际工作中，可选不同的N值来计算GH（x，z)，这时将获得相应的一系列的极值，诸极值中，最大的那个极值的深度即为场源所在，而算出极大值的那个N便是应取的参数。

综上所述，计算归一化总梯度的具体步骤如下：

（1）从原始重力值Δg（x，0）减去线性a＋bx。

（2）利用上述相减后的Δg值，根据（11-68）求Bn。

（3）由（11-70），（11-71）式，根据求出的Bn来求Vxz，Vzz。

（4）由（11-64）式，用求得的Vxz及Vzz，再求GH（x，z）。

（5）确定N值。