平衡临界极值中的临界和极值问题

遭遇追击问题

●问题，汽车以10m/s的速度在直道上行驶，正前方有一辆4m/s的自行车。

2

同向行驶时，汽车会立即关闭油门，以-6m/s的速度匀速行驶，如果汽车恰好错过自行车，那么X的大小是()c a.9.67mb.3.33mc.3md.7m。

●问题:一辆执勤的警车停在路边，当警员发现旁边匀速行驶的V = 8m/s的面包车已经违章时。

2

2.5s秒后，警车启动，以加速度a = 2m/s匀速加速，警车需要多久(1)才能追上违法货车？10

(2)警车追上货车前两个车间的最大距离是多少？36米

画多个矢量三角形求极值

一个小球A和一个小球B，质量都是m，固定在一个低难度、重量轻的细杆两端，两个球用两根不能伸长的轻细铁丝(两根细铁丝和细杆一样长)系住，挂在O点。现在对B球施加一个拉力F，使OA保持垂直，如图。拉力f的最小值是()b。

A、

1

镁离子

乙、

m g 2

丙、镁丁、镁

牛顿运动定律中的临界极值问题

低问题。如图所示，块体M与车厢M后壁之间的动摩擦系数为μ。当小车在水平外力F的作用下向右加速时，垫块M正好以匀速沿车厢后壁滑下。假设水平地面光滑，水平外力F为()c。

答。(M+m)g B .(M+m)μg

g

c。(M+m)

μ1

D M+m)μg 2

低问题。如图所示，细线的一端固定在一个倾角为45°，质量为m的光滑斜面A的顶部P，细线的另一端系一个质量为m的球。现在，用一个水平恒力F把斜面推向右边。此时球和斜面保持相对静止，细线对球的拉力正好为零，所以F的大小为(G为重力加速度)()b。

答。毫克

F

工商管理硕士

M 2m g

D.2(M+m)克

●问题，如图，质量为m 1的半圆形凹槽内壁光滑，放置在光滑的水平面上，凹槽内放置一个质量为m 2的小球。目前用一个水平的外力F来推动凹槽。系统稳定后，球离槽底的高度是圆槽半径的一半，所以F的大小为()

C

(m 1+m 2) g

b、2(m 1+m 2) g C 、( m 1+m 2) g

d、2(m 1+m 2) g

●问题如图，物体A叠在物体B上，B放在光滑的水平面上。A和B的质量分别为m A =6kg，m B =2kg。A和B之间的动摩擦系数μ=0.2。一开始F=10N，后来逐渐增大。在增加到45N的过程中，那么()D A .当拉力F < 12N时，两个物体都保持静止。

B.两个物体一开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对滑动。从受力的那一刻起，两个物体之间就有相对运动。d .两个物体之间始终没有相对运动。

曲线运动中的临界极值问题

●问题如右图，一条船位于一条200米宽的河流中间的A点，在此处下游1003 m处有一个危险区，此时水流速度为4 m/s，使船可以直线到达对岸避开危险区，船在静水中的速度至少为()c。

4383A、米/秒B、33C、2米/秒D、4米/秒

低难度，右图为一个台阶，其中每个台阶的高度和宽度都是0.4 m，一个球以水平速度V飞出，如果要打到第四个台阶，V的取值范围是()a。

答、答、答

d、2米/秒

●问题如图，在匀速转动的水平圆盘上，有两个质量都为m的小物体A和B，AB沿径向用细线连接，它们到转轴OO′的距离分别为RA =20cm和Rb = 30 cm。A和B与盘面之间的最大静摩擦力是重力的0.4倍。慢慢增加圆盘旋转的角速度。当A开始滑动时，圆盘的角速度ω是()c。

a、2rad/s B、3rad/s C、4rad/s D、5rad/s低问题，(14安徽)如图所示，倾斜的匀质圆盘以恒定角速度ω绕垂直于盘面的固定对称轴旋转，盘面

三

离旋转轴的上部距离为2.5米(设置最大静态

2

2

摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，G为10 m/s .那么ω的最大值是()c。

5拉德/秒

3拉德/秒

c、1弧度/秒D、0.5弧度/秒

引力中的临界极值问题

简单问题:一个球形的行星，质量密度ρ是均匀的。当行星的自转周期为下列值之一时，其赤道上的物体将飞离球体。

()A

A.

公元前3πG 4πG 3。

43ρG ρG

简单标题，(11福建)“嫦娥二号”是我国探月工程二期的先导星。如果“嫦娥二号”是在月球上测的(但是

作为密度均匀的球体)，近地表圆轨道的周期t，已知引力常数g，半径为r的球体体积公式。

V =

43

πR，那么就可以估算出月球的()A 3。

A.密度b质量c半径d旋转周期

机械能中的临界极值问题

简单问题，如图，飞行员在做素质训练时，抓住水平摆动绳，从静止状态向下摆动，那么在飞行员达到垂直状态的过程中，飞行员重力的瞬时功率变化是()C。

A.继续增加b .继续减少

C.先增后减d .先减后增。

●问题:在光滑的水平地面上放一个质量为m，倾角为θ的楔子，楔子上有一个质量为m的光滑块。现在用水平推力推动楔子水平向右移动，木块和楔子始终保持相对静止，如右图所示。下列说法正确的是()BD。

1

(M+M)gt ^ 2 tanθ

2

122

B.在斜楔开始的t秒内，斜楔对块体弹性力所做的功为mg t tan 2 θ。

2

Tan θ C .在斜楔开始的t秒内，斜楔的弹性力和块上重力的合力所做的功的平均功率为mgt ^ 2。

D.斜楔启动t秒结束时，合力对斜楔的瞬时功率为mg 2 t tan 2 θ。

A.在斜楔开始的t秒内，推力f对斜楔所做的功为

一条低难度，L长的线，一端固定在O点，另一端系一个小球。首先水平拉直直线，使小球位于P点，如图。然后释放球。当球下降到最低点时，悬线在O点正下方与水平固定的钉子K相遇，不考虑任何阻力。如果球能在垂直面内绕钉子做完整的圆周运动，那么K点和O点之间的距离可能是(

)A A。

4L 5L B。

2L角。

3L特区。

四

低问题:如图，一个1/4的光滑圆槽固定在垂直面上，其末端水平，其上端离地h，一个球从上端滚下，没有初速度。如果球的水平范围有最大值，那么圆形凹槽的半径是多少？。

静电场的临界极值问题

简单问题:如图，三个球A、B、C在光滑绝缘的水平面上沿直线等距离排列。三个球的质量都是m，它们之间的距离是l，如果所有的球都带电，而q A =+10q，qB =+q，为了保证三个球之间的距离不变，在球C上施加一个水平向右的恒力F，使它们共同工作。

(2)C球的电性和电荷量。

答案是(1)70kq (2) 40q。

L 2

三

2

●问题:如图，带电金属板A和B平行，板间电位差为U，A板带正电，B板中央有一个小孔。一个电荷为Q，质量为M的带电粒子，从洞正上方的平板高度h处自由落下。如果质点刚好落在板A和板B的中心点C上，那么()BCD

A.下落过程中粒子的动能逐渐增大，重力势能逐渐减小。

B.粒子下落过程中重力所做的功为mg (h+)

d

)，电场力做的功是-qU/2 ^ 2。

C.当粒子落入电场时，电势能逐渐增大，增大量为Qu/2 d，如果粒子从B板2小时的高度自由下落，正好可以到达A板。

●问题:如图，电路中电源的电动势为E，忽略内阻。水平放置的平行金属板A和B之间的距离为D，板的长度为l，在板A的左端，非常靠近电极板A的地方，以初速度v 0水平向右注入一个质量为M，电荷量为-Q的小液滴。(重力加速度用g表示):

(1)如果液滴刚好能射出沿v 0方向的电场，电动势E 1是多少？

(2)如果液滴刚好能从B板右边缘射出电场，电动势E2是多少？

分析(1) I =

E 1

R +R 2R

E

1

那么u ab = IR = e1 ①。

2

瞿AB

② d

E1 = 2mgd/q用于同时① ②

通过液滴的力量平衡镁

(2)由于液滴可以从B板的右边缘飞出，所以平抛运动的规律如下:l = v0t。

1y =d =2

2

去AB /d -mg =ma

1

同样，U ' AB = E 2

2

2

2md 2dv 0

E 2 = (2g)来自上述类别

q L

带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

●问题:在空心圆柱面中有一个垂直于纸面的均匀磁场，磁感应强度为B，其截面如右图所示。磁场边界为同心圆，内外半径分别为R和2+1。r .圆心处的粒子源在径向连续发射质量为m，电荷为q的带电粒子，不考虑粒子引力。为了防止这些粒子脱离磁场的外边界，粒子脱离圆心的速度。

qBr

m 2qBr

m

C.D.

2+1qBr

m 2-1qBr

m

)

)

低问题，如图，边界OA和OC之间有垂直于纸面的均匀磁场，边界OA上有粒子源S。在某一瞬间，从S向平行于纸面的各个方向发射出大量的同种带正电的粒子(不考虑粒子的引力和粒子间的相互作用)。

所有粒子的初速度都是一样的，经过一段时间后，大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC=60，从边界OC发射的粒子在磁场中运动的最长时间等于在磁场中运动的时间，不可能是()a...

答。T/8 B .T/6 C .T/4 D .T/3

●问题:如图，有一个垂直于纸面的磁感应强度为B的有界均匀磁场(边界上有磁场)，其边界为一个边长为L的三角形，A、B、C为三角形的顶点。有一个质量为m，电荷为+q(不包括重力)的粒子。

3qBL

速度v =磁场从AB侧的点P以垂直于AB侧和磁场的方向注入，然后从BC侧的点Q射出。

4m

如果从P点注入的粒子可以从Q点射出，那么()AD

23

答。|PB |≤L

四

13

乙。|PB |≤L

四

T

(t是粒子在磁场中运动的周期)，那么从边界OC发射的粒子在磁场2中。

3 41

d。|QB |≤L

2C。|QB |≤

简单问题:一个电荷为+Q，质量为m的球，在倾角为θ的光滑斜面上，从静止开始向下滑动。斜面处于磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向如图所示。求:(1)球在斜面上滑动的最大速度(2)球在斜面上滑动的时间(3)球在斜面上滑动的位移(S = V2/2A = M2GCOS2θ/(2B2Q2SINθ))。

低问题:如图所示，在边界PQ的左空间存在一个足够宽的电场强度为E，方向向右的均匀电场区域。电场右侧有两个条形均匀磁场区1和2区，磁场感应强度为B，方向垂直于纸面。条形均匀磁场的宽度为A，两个磁场区域之间的距离也为A，PQ是电场和磁场区域的分界线1。MN是区域2的右边界。现在质量为m，电量为q的带正电的粒子从电场的某个地方自由释放出来。通过磁场区域1和区域2后，粒子可以再次回到电场。已知磁场中粒子运动的半径为2a(忽略粒子重力)。求:(1)粒子释放处到PQ的距离d。

(2)在从粒子释放到它们再次返回电场的过程中，粒子在磁场区域1和区域2 T中移动的时间比T1: T 2 (3)粒子释放位置处的距离D需要满足的条件，以便粒子穿过区域2而不越过边界MN。

由动能定理求解:(1):qEd =

平均变化

还有:R ==2a (2分)

qB 2qB 2a 2

所以d =(2分)

我

12mv，(2分)2

(2)带电粒子的运动轨迹如图所示。因为轨迹半径为2a，所以磁场区域1中的圆弧对应的圆心角为

30，区域2中的圆弧对应的圆心角为120，

30 +30 1

T =T (2分)

360 6120 1t2 = t = t (2分)

360 3

因此，t 1:t 2=1:2(

1分)t 1=

(3)到达区域2时，运动半径r >；答(1)

2a (1点)不会越过边界MN，则运动半径R ≤ 2a (1点)。综上所述，a。

qB 2a 22qB 2a 2

●问题:如图所示，两个轴线为* * *的圆柱形金属电极接地，其上均匀分布有四条平行于轴线的狭缝A、B、C、D。外圆柱的外半径为R，在圆柱外足够大的区域内有一个平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度为b，在两极之间加一个电压，使两圆柱之间的区域内有一个沿半径向外的电场。一个质量为m，电荷为+q的粒子，从靠近内圆柱，面向狭缝A的点S出发，初速度为零。如果粒子运动一段时间后刚好回到起点S，那么两电极间的电压U应该是多少:(排除重力，整个装置处于真空中)(1)？

(2)如果圆柱外磁场的外边界是圆，磁场的最小面积是多少？

22B qr

U =

2m

电磁感应的临界极值问题

低问题，如图，一个“N”形导体框架足够长，宽度为L，其平面与水平面垂直，电阻可以忽略。设均匀强磁场垂直于导体框架平面，磁感应强度为b .有一个导体棒ab跨在框架上，由静止状态释放，沿框架垂直滑动，始终保持水平，它与框架的摩擦力为F，如图，导体棒质量为m。

A.a → bb.b → a.c .没有d .无法确定ab下降过程中加速度的变化是()B。

A.从小到大b .从大到小c .从大到小d . ab不断下降的最大速度等于()a。

b

(mg -f ) R经理(mg+f)R fR a b c d

b . 2L 2B 2L 2B 2L 2B 2L 2

ab以最大速度下降时消耗的电功率等于()a。

(m g -f ) 2R m 2g 2R (mg +f ) 2R f 2R

A.公元前22年

222222

英国皇家航空公司

垂直面内有一条抛物线形状的光滑曲面轨道，如图所示，抛物线方程为y = x，轨道下部处于水平向外的均匀磁场中，磁场的上边界为y = a的直线(图中虚线所示)， 而一个小金属环是从y = b (b > A)的抛物线以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属环沿抛物线下滑产生的总焦耳热是()d。

答。mgb 12B 2

c。毫克(硼-甲)

12

d。毫克(硼-甲)

2

低问题:(11上海)电阻可忽略不计的光滑平行金属导轨长度为S=1.15m，两导轨间距L =0.75 m，导轨倾角30°，导轨上端ab接电阻R = 1.5ω，磁感应强度B = 0。电阻r = 0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直，接触良好。它从轨道的上端ab开始向下滑动到底端，金属棒在这个过程中产生的焦耳热为Q r =0.1J。(取g =10m /s 2)求:(1)金属棒在此过程中克服安培力的功W A；(2)金属棒在滑动速度v =2m /s时的加速度A

(3)为了求金属棒的最大速度v m，有同学回答如下:从动能定理W重量-W A =

2

1

mv m ^ 2，？。产生的2

结果正确吗？如果正确，说明原因，完成这个小问题；如果不正确，给出正确答案。

(1)安培力在滑动过程中所做的功是电阻上产生的焦耳热，因为R =3r，因此，

b

Q R =3Q r =0.3(J) (1)

∴W A =Q =Q R +Q r =0.4(J) (2)金属棒下落时，受到重力和安培力的作用。

(2分)

2L 2

f安=BIL =v (1点)

2L 2号

V =ma (3分)由牛顿第二定律mg sin 30？-

R +r

B 2L 210.82？0.752?2

∴a =g sin30？-v =10？-=3.2(米/秒2) (2分)

m (R +r ) 20.2？(1.5+0.5)

(3)这个解法是正确的。(1)

金属棒滑下时，在重力和安培力的作用下跳舞，动作符合要求。

2L 2

mg sin 30？-v =ma

R +r

上式表明，加速度随速度的增加而减小，杆做加速度减小的加速运动。无论最终是否达到匀速，当杆到达斜面底部时，速度一定是最大的。由动能定理可以得到杆的最终速度，所以上述解法是正确的。

(2分

)

mgS sin 30？-Q =

∴v m =

1

Mv m 2 (1分)2

==2.74(米/秒)(1)

交流电的临界极值问题

●问题:如图所示，R 1为恒定电阻，R 2为可变电阻，e为电源电动势，R为电源内阻，所以下列说法正确的是:()AC。

A.当R 2=R1+r时，R 2上获得的功率最大。b .当R 1=R2+r时，在R 1上获得的功率最大。c .当R 2=0时，R 1上获得的功率最大。d .当R 2=0时，电源。

低问题，如图，已知交流电源电动势有效值为100V，内阻r = 4Ω。如果用理想变压器向电阻为R 1 = 100ω的负载供电，则在负载R 1上获得的最大功率和变压器一、二次绕组的匝数比分别为()b。

625瓦5︰1

R 1

c、62500 w 1￢25d、100 w 1￢25压轴、心电图(ECG)第一种是将心肌收缩产生的脉动转化为电压脉冲的仪器，其输出部分可以等效为一个交流电源连接一个大电阻(40 kω)，如图所示。心电图机接在理想变压器的初级线圈上，扬声器(可以等效为一个电阻为8ω的电阻)接在变压器的次级线圈上。在等效电源的电压有效值V 0保持不变的情况下，变压器的一次绕组和二次绕组的匝数比约为()C A，1: 5000才能获得扬声器的最大功率。

b、1 :70

8Ω

c、70 :1 D、5000 :1

心电图变压器

热的临界极值问题

简单的问题，两个分子，A和B，如果A分子固定，B分子会从很远的距离逐渐靠近A分子，直到不能再靠近整段。

过程中分子势能的变化是()d。

A.增b .减c .先增后减d .先减后增。

动量守恒定律的临界极值

简单问题:两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，两根导轨之间的距离为l，两根导体棒ab和cd水平放置在导轨上，形成一个矩形回路。如图所示，两根导体棒的质量为M，电阻为r，回路其余部分的电阻可以忽略不计。导轨整个平面内有一个垂直向上的均匀磁场，磁感应强度为b .假设两根导体棒都可以沿导轨无摩擦滑动。开始时，横条cd是静止的，横条ab有一个指向横条cd的初速度v 0。如果两个导体棒在运动中从未相互接触，找到:

(1)运动时产生的最大焦耳热是多少？（

12

mv 0) 4

3F B 2l 2v 0

(2)当ab杆的速度变为初速度时，cd杆的加速度是多少？(a =) =

4m 4mR

(3)运动时棒cd通过的最大电量是多少？(m/2BL)

●问题:如图5-15所示，A、B两个孩子，各自坐在冰车上的水平冰面上玩耍。A和他的滑板车总质量是30kg，B和他的滑板车也是。游戏中，A推着一个质量为15kg的箱子，以2m/s的速度和他一起滑行，B以同样的速度迎面滑行。A为了避免碰撞，突然沿着冰面把箱子推给B，箱子滑向B，B赶紧抓住。在不考虑冰摩擦力的情况下，A把箱子推出去(相对)要多快才能避免和B发生碰撞？(5.2米/秒)

●问题:如图所示，质量均为m的木块A和B放在光滑的水平面上。一根垂直的灯杆固定在上面。在光杆上端的一个小钉子(不含质量)O上系一根长度为L的细线，细线的另一端系一个质量为m的小球C，现在拉起小球C，使细线水平伸直，小球C从静止位置释放(小球C不与直杆碰撞)。

(2) cos θ，两块木头分开后小球与垂直方向最大偏离角度θ的余弦值。

分析(1)当球C降到最低点时，AB开始分离，水平方向动量守恒。根据机械能守恒定律:

2

mgL =mv 2C +Mv AB

1

212

mv C =2Mv AB，v C =2

MgL

2M +m

2M +m

(2)选取A和C为研究对象，以机械能守恒MV C-MV AB =(m+m)V’为条件，以机械能守恒为条件。

12121mv c+AB =(M+M)v′2+mgL(1-cosθ)222

求解得到cos θ 2m+m。

低问题:如图，质量为m = 1.0kg的长木板B在光滑的水平面上以v0 = 3.2m/s的速度直线向右运动。在某一时刻，一块质量为m = 3.0kg的小金属块A放在长木板上，距离木板左端d = 0.64m。这时可以认为A的速度为0，小金属块刚好不会从木板上滑落。

(1)小金属块最终能达到多快？

(2)小金属块在板上滑动时产生的焦耳热？

(3)A与b之间的动摩擦系数μ.

(1)0.8米/秒(2)3.84J (3)0.2

低问题:如图所示，在质量为m的汽车A右端固定一个轻弹簧，汽车静止在光滑的水平面上。一个质量为m的小物体B以v 0的速度从左端冲向汽车，压缩弹簧，然后弹回，回到汽车左端时刚好与汽车保持相对静止。找出弹簧在整个过程中的最大弹性势能E P和B，小车向右运动时系统摩擦生热Q是多少？

2 mmv 012122 Q = mv 0-(M+M)v，E P =Q= 224(m +M ) m

11