波尔查诺的主要成绩
波尔查诺的主要数学成就涉及分析学的基础问题。他在《纯粹分析的证明》(1817)中对函数性质进行了仔细分析,在A.-L.柯西之前首次给出了连续性和导数的恰当的定义 ;对序列和级数的收敛性提出了正确的概念;首次运用与实数理论有关的原理:如果性质不是对变量所有的值成立,而对小于某个的所有的值成立,则必存在一个量,它是使不成立的所有(非空)集的最大下界。在1834年撰写但未完成的著作《函数论》中,他正确地理解了连续性和可微性之间的区别,在数学史上首次给出了在任何点都没有有限导数的连续函数的例子(用曲线表示的函数,没有解析表达式)。
波尔查诺对建立无穷集合理论也有重要见解,在《无穷的悖论》(1851)中,他坚持了实无穷集合的存在性,强调了两个集合的等价概念(即两集合元素间存在一一对应),注意到无穷集合的真子集可以同整个集合等价。
对波尔查诺来说有点不幸的是:他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视,他的许多成果等到后来才被重新发现,但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了。(这其中的主要原因可能是他生于一个当时数学并不发达的国度,也缺乏与国外的交流)。