最小树问题的求解方法

基本概念

最小树问题是网络优化问题之一，指的是如何从网络的支撑树中找到最小树。求解最小树问题常用破圈法和贪婪算法。最小生成树问题是组合优化中的一个重要问题。

自20世纪50年代末Rosenstiehl、Prim和Kruskal相继给出解决该问题的算法以来，人们对该问题的兴趣从未停止，相关理论被应用到许多领域。这个问题已经得到了很好的解决，其中经典的算法有破圆法、切边法和避圆法。

研究背景和意义

随着网络通信技术的成熟，互联网在人们的生活中发挥着越来越重要的作用，基于网络的应用和服务也层出不穷。其中一些应用，如视频会议、在线教学、多人游戏等。，要求传输时间长，数据量大，网络延时小，对网络传输和处理能力要求高。

对于这类应用，如果采用单播或广播的方式进行通信，需要不断复制数据，传输的数据量太大，传输效率很低。同时数据传输需要大量的带宽，对带宽要求高，带宽低的时候容易堵网。组播可以有效解决这些网络应用。组播又称多播，是一种从一个源节点向多个目的节点传输相同信息的通信方式。所有目的节点的集合被称为多播组，并且多播组的每个成员被称为多播组成员。组播通信的路由方式有很多种，其中最简单也是最常用的方式是沿着树形结构路由。

组播树是一种生成树，它的根是源节点，包含所有的目的节点。使用组播树传输数据的好处是数据从根节点开始沿着主干并行传输，最终到达所有目的节点，可以加快传输速度。

另外，在数据传输过程中，只在树权处复制数据信息，使网络中传输的信息最少，可以减少占用带宽，提高网络利用率。因为组播路由是基于组播树的，如果能找到代价最低的组播树，组播路由问题就解决了。

寻找代价最低的组播树可以归结为寻找给定节点集的最小生成树，这就是Steiner最小树问题，得到的最小生成树称为Steiner最小树。Steiner最小树问题根据不同的情况可以细分为垂直距离、欧氏距离、图等。因为图的Steiner最小树问题是应用最广泛的。