勾股定理知识点总结
1.教学设计学科名称
2.班级情况和学生特点分析
3.教学内容分析
4.教学目标
5.教学难点分析
6.教学时间
7.教学过程
8.课堂练习
9.操作安排
10.附录(教学材料和资源)
11.自我问答
北师大版八年级数学(上册)教师用书
第1章勾股定理
1.1探索勾股定理
课前预习，教好
点击关键字。
勾股定理平方证明计算的应用
目标导航船
1.通过拼图游戏了解勾股定理的文化背景，让学生发现勾股定理。
2.可以用材料通过切割和拼图来验证勾股定理。
3.勾股定理可以根据直角三角形的两条边求第三条边，解决简单生活和生产实践中的问题。
3.重点:勾股定理的证明和应用。
4.难点:学生数学语言的运用。
有创意的开场白
勾股定理是基于前人对直角三角形的一些性质的研究。它是几何学中的重要定理之一。揭示了直角三角形三边之间的数量关系。它将形与数紧密联系在一起，在数学的发展中起着非常重要的作用，在现实世界中也有广泛的应用。通过对勾股定理的学习，学生对直角三角形有了进一步的认识和理解，为以后学习解直角三角形打下基础。
首先，欣赏图片。
2002年，国际数学家大会将“赵爽的弦图”定义为
这次会议的会徽。
你见过这个图案吗？
你听说过勾股定理吗？
介绍新课，勾股定理+08.1。
第二，了解历史是有吸引力的
商高是公元前11世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会。在中国古代，战国时期西汉的数学著作《周篇·舒静》中就记载了商鞅与周公的一段对话。商高说，“...故矩折，修股四次，角五次。”什么是“挂钩、股票”？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“钩”，下半部分称为“大腿”。商高说法的意思是，当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时，半径角(即弦)为5。以后人们会简单地把这个事实称为“勾三股四弦五”。因为勾股定理的内容最早见于商高的文字中，所以人们把这个定理称为“商高定理”。
第三，来自一个美丽的故事。
全世界很多科学家都在努力寻找“外星人”。人们尝试了许多方法来与外星人取得联系。早在1820年，德国著名数学家高斯就提出，可以在西伯利亚的森林中砍出一块直角三角形的空地，然后在这块空地上种上小麦，用三角形的三条边种上三片正方形的松林。如果有外星人路过地球，看到这个巨大的数学图形，他就会知道这个星球上有智慧生命。
中国数学家华曾提出，如果我们要在两个不同的星球之间交流信息，最好是用宇宙飞船把这个图形发射到太空。
第四，从一个著名的问题引起注意
《九章算术》中有一个勾股定理的标题:“今有一池，高一尺，jiā生于其中心。一只脚出水，就把它引向岸边，它适合上岸。问水深长短几何。”
这个问题的意思是:(如图1)有一个十尺见方的池子，池子里有一种芦苇状的植物，高出水面一尺。如果你把它引到岸边，它会刚好和岸边齐平。水有多深，植物有多长？
图1
老师通过将实际问题转化为直角三角形的三边关系问题来展示题目——勾股定理。
◎温故而知新。
温暖过去
三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2.三角形的三边关系:任意两条边之和大于第三条边。
志新
勾股定理:
1.直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。
2.几何语言表达式:如图1.1-1，在RT δ ABC中，c = 90。
那么:BC 2+ AC 2= AB 2
如果BC=a，AC=b，AB=c，
那么上述定理可以表示为:
图1.1-1
薛乐雪思1
到目前为止，学习到的直角△ABC的主要性质是:(如图1.1-2) ∠ c = 90，(用几何语言表示)。
(1)两个锐角的关系:
(2)若d是斜边的中点，则斜边的中线等于斜边的一半；
(3)若∠B = 30°，则∠B的对边和斜边为:
(4)三方的关系:
A
B
C
D
图1.1-2
我的问题是:
课堂学习。一键沟通
知识上的彻底突破
●知识点1
探索勾股定理导航索引■■■■■□□
1，请在坐标纸上画一个直角三角形做出来
的两条直角边分别为3和4，三边向外做成正方形，如图1.1-3。算算。
a的
区域
b的
区域
C
区域
画
16
九
25
A
B
C
图1.1-3
小组讨论，交流
SA+SB=SC
结论:
2.请用绘图纸选择两个你喜欢的数字作为直角，探究上述关系是否仍然成立。(如图1.1-4所示)
A
B
C
图1.1-4
结论:SA+SB=SC
也就是说，两个直角上的平方面积之和等于斜边上的平方面积。
问题:
1，猜一猜直角三角形的三条边是否都有
这个房产？由四个全等的直角三角形(图1.1-5)组成，直角边为A和B，斜边为C(图1.1-6)。
观察图形，思考并填空:
一个大正方形的面积可以表示为:(a+b)2。
这个大正方形的面积还能怎么表示？
那么等式可以被列出如下
简化并整理方程，得到
概述:勾股定理
图1.1-7
直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方，如图1.1-7。
即如果在△ABC中，
∠ ACB = 90，那么
。
变形:如果∠ACB = 90 °,
那么a2= c2 -b2
b2 = c2 - a2
在此基础上，老师引入“钩、股、弦”的含义，并结合直角三角形指出问题，让学生体会勾股定理中蕴含的数形结合的深刻思想。
●知识点二
定理证明:能证明勾股定理吗？
导航索引■■■■■■
勾股定理的证明方法有上百种，现在列举两种典型的方法。请根据老师的分组选择一种方法进行学习，并将结果与其他组进行交流！
(1)解谜法——隐藏的解谜游戏中巧妙的证明方法，如图1.1-8。
1.操作:请把下面八个全等的直角三角形和三个正方形放进下面两个边长为A+B的大正方形里。
2.请根据拼图结果证明勾股定理。
图1.1-8
证明:从左图可以看出:
从右图可以看出:
因此...
(2)面积相等法
一个同学拿着两个大小形状相同的直角三角形走过来，拼出来如图右边1.1-9，并解释说:“这个梯形的面积等于(a+b)2的一半，也可以是两个直角三角形的面积加上一个等腰直角三角形的面积。简化后就是a2+b2=c2。
●知识点三
勾股定理的应用:在直角三角形中，已知两个
从侧面找第三面。导航索引■■■□□□
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的关系，应用广泛。
例1有一个一尺见方的水池，池中有一株芦苇状的植物，高出水面一尺。如果你把它引到岸边，它会刚好和岸边齐平。水有多深，植物有多长？
解析:根据题意画一个图(如图1.1-10)。
求一个直角三角形，用勾股定理求解。
图1.1-10
过程的详细说明:
解:从题中含义:在Rt△ ABC，∠ACB=90゜，BC=5，CD=1，设植物长度AB = X，则水深AC = X-1
根据勾股定理
Ab2 = ac2+bc2，所以x2 = (x-1) 2+52，所以x = 13，x-1 = 12。
答:水深12英尺，株长13英尺。
◎巧妙的知识归纳
课堂上的小挑战
一、多项选择题
1.贾敏的家和学校之间的距离只有500米，但需要走一个直角转弯才能到达。已知从拐角到学校有400m，所以从门口到拐角有一段距离。
长300米宽350米宽400米宽450米
分析:在问题的含义中，贾敏的家、学校和拐角形成一个直角三角形。知道了两边，就可以找到第三边，也就是门到墙角的距离。设门到角的距离为x米，由勾股定理得到x=300。
答案:a。
2.等腰直角三角形三边的平方比()
1:4:1 b . 1:2:1
1:8:1d . 1:3:1
解析:根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以三边的平方比中应该有两个数相加得到第三个数，这才符合选项b .
答案:b。
3.长方形的一条对角线的长度是10cm，一边的长度是6cm，它的面积是()。
(A)60平方厘米(B)64平方厘米
24平方厘米48平方厘米
解析:矩形的两条相邻边和对角线围成一个直角三角形，可以用勾股定理求出另一边，从而求出面积。
答案:d。
2.填空
4.如果一个直角三角形的两个直角分别是6和8，那么斜边是什么？___________;
解析:设斜边为x，由勾股定理得出结果为:x=10。
答案:10。
5.如图1.1-11，学校里有一个长方形的花店，几个人为了避开拐角，在花店里走了一条“路”。他们只是少走了几步(假设两步是1米)，却踩花了。
解析:根据挂钩，这条“路”的长度为5m，两级台阶为1m。他们只走了10步。
答案:10。
6.一个长方形的抽屉，长24cm，宽7cm，里面放一根铁棒，那么最长的铁棒可以。
解析:铁条最长的长度是水桶两个相对顶点段的距离，即已知矩形水桶的长和宽，求对角线长度。设铁棒的最大长度为xcm，由勾股定理得到x=25cm。
答案:25cm。
三。计算问题
7.在Rt△ABC中，∠ c = 90，c=20且a: b = 3: 4，则a=？b=？
解析:可以先根据题意画一个直角三角形。
回答:
解法:设a=3x，b=4x，从勾股定理可以得到:x=4，所以a=12，b=16。
8.在一棵树的10米的高度有两只猴子。其中一只猴子爬下树，走到离树20米远的池塘边，另一只猴子只爬到树顶，径直走向池塘。如果两只猴子经过相同的距离，这棵树有多高？
解析:根据题意画一个图形(如图1.1-12)，然后用勾股定理在直角三角形中构造一个方程求解。
图1.1-12
解:如图1.1-12，设D为树顶，C为池塘，AB=10米，AC=20米，设AD的长度为X米，则树AD的高度为(x+10)米，因为AC+。
解是x=5。所以x+10=15，也就是树高15米。
4.解决问题
9.如图1.1-13，一棵4米高的小树的树顶上有一只鸟。
在树上抓虫子，它的伙伴在距离树12m m 20米的高度。
一棵大树的树梢上传来友好的叫声，它立刻以4m/s的速度上升。
飞到树顶的速度，所以这只鸟至少要几秒钟。
也许和你的搭档一起去够那棵树？
图1.1-13
图1.1-14
解析:首先根据题意画一个几何图形，如图1.1-14，找出直角三角形，利用勾股定理。
过程的详细说明:
解:AE=20-4=16，
在，
解决方案是AC=20
答:这只鸟至少需要5秒钟才能到达树旁，与它的伴侣在一起。
答案:5。
10.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，汽车在城市街道上的行驶速度不得超过km/h，如图1.1-15。一辆车行驶在一条城市街道的直道上，某一刻刚好开到对面马路的测速器前m处，过了2s。
A
汽车
汽车
B
C
观察点
图1.1-15
解析:一、把实际问题变成数学问题。
过程的详细说明:
图1.1-16
解:如图1.1-16，中间，
解决方法是BC=40
70 2=140
和140 >；40
所以那辆车超速了。
课后复习，各显神通。
◎牛刀的初步试验
(时间:30分钟，满分:100分)
班级名称分数分数
1.选择题(每题3分，* * * 24分)
1.直角三角形的三条边分别是2、3和X，那么以X为边长的正方形的面积是()。
a，13 B，5 C，13还是5 D，不确定。
分析:这个问题的关键是考虑两种情况。根据直角三角形的三条边组成的三个正方形的面积之间的关系，第一种情况，以X为边长的正方形的面积为13；第二种情况。
答案:c。
2.把一个直角三角形的两个直角同时放大到原来的两倍，那么斜边就会放大到原来的()。
a，4倍b，2倍c，常数d，不确定
解析:假设一个直角三角形的两个直角同时展开为原来的两倍，那么斜边也展开为原来的两倍。
答案:b
3.一个木匠测量了等腰三角形的腰、底、高，但是他把这三个数据和其他数据混淆了。请帮他找出来。
A.13，12，12
C.13，10，12 D.5，8，4
解析:等腰三角形的腰、半个底、高的长度要满足勾股定理，所以三个数中的两个的平方和要等于第三个数的半个的平方，只满足c .
答案:c。
4.在△ ABC中，∠c = 90°，a+c = 32°，a: c = 3: 5，则△ABC的周长为﹙.
A.30 B.40 C.48 D.50
解析:从a+c=32，A: C = 3: 5，a=12，c=20，∠ C = 90，所以C是斜边，从勾股定理得出的另一条直角边是16，所以△ABC = 65438+的周长。
答案:c。
5.一个正方形的对角线长度是18，那么这个正方形的面积是()。
a . 9 b . 18 c . 162d . 81
解析:对角线的平方等于直角平方的两倍(即这个正方形的面积)，所以这个正方形的面积为。
答案:c。
6.在△ABC中，AB=13，AC=15，AD=12，那么BC的长度是()。
A.14b.9c.9或5d.4或14
分析:本题会出现两种情况，如图1.1-17。
图1.1-17
答案:d。
7.斜边为，右边长为的直角三角形的面积为()
60 (B) 30 (C) 90 (D) 120
图1.1-18
解析:如图1.1-18，画一个直角三角形，先求出另一边的长度，再求出这个三角形的面积。根据勾股定理，解为BC=8cm。所以答案是a .
8.下列说法正确的是()
A.如果A，B，C是三条边，那么
B.如果A，B，C是三条边，那么
C.如果A，B，C是三条边，那么
D.如果A，B，C是三条边，那么
解析:这道题的关键是判断A、B、C三条边中哪一条是斜边，哪两条是直角。
答案:d。
2.填空(每道小题4分，***24分)
9.等腰△ABC的腰长AB = 10 cm，底BC为16cm，所以底边上的高度为，面积为。
图1.1-19
解析:根据题意画一个图，如图1.1-19。等腰三角形的高度把它分成两个全等的直角三角形，选择其中一个先计算高度再用勾股定理计算面积。
答案:6cm
10.一天，李的父亲买了一个方底床垫，边长250厘米，厚30厘米。到了门口，发现门只有240cm高，100cm。宽。你认为李的父亲能把它带进屋里吗？。
分析:计算比较床垫的边长和门的对角线，确定是否可以带进屋内。和床垫的厚度没有关系。解是x=260。于是李的父亲就带着床垫进屋了。
回答:可以带进屋。
11.在直角三角形中，如果两个有直角边的正方形的面积是，那么有斜边的正方形的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _。
解析:在直角三角形中，以右边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
答案:15。
12 ...如图1.1-20，直线l上有A、B、C三个正方形，若A、C的面积分别为5，11，则B的面积为()。
A.4 B.6 C.16 D.55
图1.1-20
解析:正方形A和C的面积之和等于正方形b的面积.
答案:c。
13.在△ABC中，∠ C = 90，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=
解析:因为在△ABC中，∠C = 90°，AB是斜边，所以AB2+AC2+BC2 = = 50°。
答案:50。
2.如果等腰三角形的腰长是10，底长是12，那么底上的高度是()。
a、6 B、7 C、8 D、9
解析:等腰三角形底上的高线、中线、顶角的平分线重合，分成两个全等的直角三角形，可用勾股法求解。
答案:c，
三。计算题(每道小题8分，* * * 32分)
图1.1-21
14.如图1.1-21，在Rt、
给定c = 25，b = 15，求a；
解析:在直角三角形中，已知斜边和一条直角边，求另一条直角边。
回答:
解:在Rt中，c=25，b=15。
勾股定理
解是a=20。
15.如图1.1-22，小李准备建一个蔬菜大棚，宽4m，高3m，长20m。温室的斜坡用塑料布覆盖，不考虑墙的厚度。请计算阳光能穿透的最大面积。
图1.1-22
解析:这是一个很实际的问题，勾股定理的应用有很好的考察。
回答:
解:温室斜面宽度为x米。
源自勾股定理
解是x=5。
所以阳光穿透的最大面积是。
16.如图1.1-23，铁路上两点a和b相距25km，c和d是两个村，DA⊥AB在a，CB⊥AB在b，已知DA=15km，CB = 65438。
A
D
E
B
C
图1.1-23
解析:首先把实际问题转化为数学问题。这个问题中有两个直角三角形。根据它们相等的斜边，利用方程的思想解决问题。这是一个难题。
过程的详细说明:
解法:设AE=x，in，
In，而DE=CE，所以解是x=10。
答:E站应建在距离a站10km处.
答案:10km。
4.解题(每道小题10分，***20分)
17.将插有彩旗的旗杆垂直插入操场，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm。无风天气，彩旗自然下垂，如图1.1-24。求彩旗下垂时离地的最小高度。h .彩旗完全展开时的大小为左图所示的长方形(单位:cm)。
120
90
图1.1-24
分析:
没有风的时候，彩旗自然悬挂，那么从上到下的距离就是这个长方形对角线的长度，那么H就是旗杆的高度减去彩旗的对角线。
回答:
解法:设彩旗的对角线长度为xcm，由勾股定理得到。
解是x=150。
320-150=170(厘米)。
答:彩旗垂下时最低处离地的最小高度H为170cm。
18.如图1.1-25所示，为迎接2010世博会，会展中心将在展会期间在高5m、长13m、宽2m的走廊上铺设地毯。已知地毯每平方米18元。请帮我们计算一下至少要花多少时间。
5m
13m
图1.1-25
分析:关键是先搞清楚地毯的长度，再计算面积，这样才能算出铺设完这条走廊至少要花多少钱。
回答:
解答:来自勾股定理
解是x=12。
回答:完成这条走廊至少需要612元。
我的反思:
单元复习和掌握
网络自身建设
◎我探索话题
勾股定理及其逆定理在中考和数学竞赛中应用广泛。下面的例子说明了它们。
●题目1用来求角度的度数。
示例1如图1-1所示。在四边形中，求和，求度。
解析:将四边形分成两个三角形，利用勾股定理逆定理求解。
回答:
解决方案:
设置，然后连接，
它是一个等腰三角形。
在勾股定理中，
再说一遍，
∴ .
从勾股定理的逆定理
这是一个直角三角形。
。
●题目2用于确定三角形的形状。
例2如果三角形的三条边满足关系式，则三角形的形状为。
解析:适当变换题意中的方程。
回答:
解决方案:∫，
也就是∴。
∴或者.
∴或者.
这个三角形的形状是等腰三角形或直角三角形。
●项目3用于证明两条线段垂直。
例3显示的是图1-2中的方块，并验证:。
解析:利用勾股定理逆定理证明是直角三角形。
回答:
证明:连接，设置，然后，
∵ ,
, .
是直角三角形(勾股定理的逆定理)。
。
●主题4发现领域
例4如图1.3，在已知的四边形ABCD中，∠ B =，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，求四边形ABCD的面积。
解决方案:链接AC
∫∠B =，
AB=3，BC=4
∴
∴AC=5
∵
∴
∴∠ACD=
●类比旁通2。
◎数学万花筒:
于霞的治水与勾股定理
大约4万年前，中国发生了一场特大洪水。那时候遍地汪洋，田地淹没在洪涛中。人们没有地方住，所以他们不得不扶老携幼，从东到西漂泊。
面对严重的自然灾害，一个名叫的人来治水，越堵洪水越大。
后来，鲧的儿子禹来治理洪水。他从父亲的经历中学到，洪水是从高处向低处流的。他知道单靠堵是行不通的，必须疏通河道。于是他领着人去疏浚河道，引导河道。禹治水的方法很有效，洪水越来越少。最后都流入了大海。在余的领导下，经过十年的努力，这种非凡的自然
相传虞在会稽山(今浙江绍兴)抗洪时，死在那里，会稽山下的虞洞就是他的墓地。后来，人们在这里建立了玉灵碑、玉佛寺和玉灵石亭来纪念他。在民间流传的许多传说中，也有禹“过门三不进”的故事，可见禹的治水精神是多么高尚！
于的治水也和勾股定理有关！因为他意识到洪水是由高向低流的，在疏浚河道的过程中，需要控制和确定两地的高差，而确定高差最简单的方法就是利用勾股定理。于是如何用勾股定理确定两地之差的？历史上没有详细的记载，只是在中国古代数学著作《周髀算经》和一些史料中简单提到，勾股术(即毕达哥拉斯的计算方法)产生于禹治水的时候。根据这一特点，我们可以说，于是世界历史上有记载的与勾股定理有关的第一人。