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1.任意4个自然数，其中至少有两个数是3的倍数，为什么？

首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。

2.一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，竞赛者的得分都是自然数，75人的总分是980分，问至少有几人得分相同？

首先根据抽屉原理75/20=3.75至少4人得分相同,在至多4人得分相同的情况下,总分至少为(1+18)*18*4/2+19*3=741,

至多(3+20)*18*4/2+2*3=834,

780在[741,834]区间内,所以至少4人得分相同

如780-741=39=13*3

那么，

4个1~6，8~18，3个19，20，1个7就符合要求

3.学校图书馆里有A,B,C,D四类书，规定每个同学可以借2本书，在借书的85名同学中，可以保证至少多少人所借的类型是完全一样的。

首先根据抽屉原理85/4=21.25，不排除每个同学借2本书的类型是不同的，所以至少22人所借的类型是完全一样的

4.在一只箱子里有4种不同形状的小木块若干块，一次最少要取多少块，才能保证其中至少有10个木块的形状相同？

37 前面36块可能是4个9（极限）,然后第10块肯定是4种木块中的一块，无论哪种都满足问题至少10块形状相同。