10有趣的数学问题

有一个魔盒，里面有鸡蛋。魔术一表演，蛋的数量每分钟翻倍。10分钟后，盒子里装满了鸡蛋。多少分钟，盒子是半满的吗？

至少要拿出几双袜子？

抽屉里有十只黑袜子和十只白袜子。如果你在黑暗中打开抽屉，伸手去拿袜子；我要拿出多少袜子才能确保得到一双？

3.它什么时候能从枯井里爬出来？

一只猴子被困在30英尺深的枯井里。如果它每天能往上爬三尺，再往下爬一尺，以这种速度什么时候能爬出枯井？

4.最多需要几分钟？

假设三只猫可以在三分钟内杀死三只老鼠。一百只猫杀死一百只老鼠需要多少分钟？

5.他们中谁年龄最大？谁最年轻？

扎扎比菲菲大，但比胡安小。菲菲比乔乔和马修大。马修比卡洛斯和乔乔年轻。胡安比菲菲和马修大，但是比卡洛斯小。

他们中谁年龄最大？谁最年轻？

6.请使用+、-、×、⊙、()等操作符号。

1.请用+、-、×、°、()等运算符连接五个3组成公式，使它们的数字分别为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9和10。

2.请在四个5之间加一个运算符号，使运算结果分别等于0，1，2，3，4，5，6，7。

3.下面的公式只写数字，忘了写运算符号。请选择+、-、×、⊙、()和[]填入公式，这样方程就成立了。

1 2 3=1

1 2 3 4=1

1 2 3 4 5=1

1 2 3 4 5 6=1

1 2 3 4 5 6 7=1

1 2 3 4 5 6 7 8=1

1 2 3 4 5 6 7 8 9=1

7.这只狗跑了多少公里？

a和B同时从东、西出发，相向而行，距离10公里。甲每小时走3公里，乙每小时走2公里。他们见面几个小时？如果A带着一只狗，同时从A出发，狗以每小时5公里的速度跑向B，遇到B后再跑回A；遇到A就跑回B，狗直到他们相遇才停下来。这只狗跑了多少公里？

8.以下公式中“华北”代表的两位数是什么？

华出生于1910。以下公式中“华北”的两个数字是什么？

1910

+华北

9.跑道

有这么一个赛马场。在赛马场上，马A一分钟能跑2圈，马B能跑3圈，马C能跑4圈。三匹马同时从起跑线上起跑。多少分钟后三匹马又在起跑线上相遇了？

10.装载苹果

有1000个苹果，10个盒子，这样整箱就可以组合任意整数个苹果(当你需要任意个的时候)。如何包装它们？

11.年龄

一天，一个人走进一家小饭馆，点了一份便餐，边吃边和老板聊天。老板说他有三个孩子，于是客人问他:“你的孩子多大了？”老板:“让你猜！他们三人的年龄等于72岁。客人想了想说:“这似乎还不够！老板:“好吧！我再跟你说一遍，你出去看看我们的门牌号，就能看到他们三个年龄的总和。“客人出去一看是14。他回来后摇了摇头，回答道:“还是不够！老板笑着说:“我最小的孩子喜欢吃那种巨型鸡蛋面包。这三个孩子的年龄是多少？

12.扑克

在回阿拉伯的路上，阿拉宾路过周日假日市场，看到一个人多的地方，就停下来看看有什么好玩的。原来是一个卖艺女孩和她爸爸在表演，不时穿插一些扑克猜谜游戏。第一个猜中的人可以得到一盏神灯！这次可爱的姑娘出了一道题，根据以下提示猜出三张扑克牌的正确顺序:1。黑桃的左边有一个方块；2.老k右边有个8；3.红心左边有个10；黑桃的左边有一颗红心。你能帮助阿拉冰得到他最需要的神灯吗？对了，卫生员给的问题很简单。说不定几秒钟就能答出来！

13.去别墅

“他们把全家人都带到别墅去了，”鲍勃说。那里真好。晚上很安静，没有汽车喇叭声。"“但是警察照常上班，”瑞安评论道。"你那里没有警察吗？”“我们不需要警察！鲍勃笑着说，“但是在我们的驾驶中出现了一个问题，值得你考虑。什么情况:前15英里，我们平均时速40英里。然后，大约走了九倍的路，我们开得更快了。在剩下的七分之一路程中，我们一直开得很快。全程的平均速度正好是每小时56英里。”“你说的‘十分之几’是什么意思？”瑞安问道这里的数字是一个精确的整数，”鲍勃回答说，“接下来两个旅程的速度也是一个整数英里每小时。“鲍勃自然不会和家人一起疯狂飙车，虽然那条路上可能没有警察！请问，鲍勃在最后七分之一路程中的平均速度是多少？

14.过桥

有四个人，a b c d，晚上要从桥的左边走到右边。这座桥一次只能走两个人，而且只有一个手电筒。你必须用手电筒过桥。四人过桥最快时间如下:a 2，b 3，c 8，d 10。

走得快的人要等走得慢的人。如何在21内让所有人过桥？

15.比赛游戏

最常见的配对游戏之一就是两个人一起玩。首先在桌子上放几根火柴，两个人轮流拿。可以先限制一次取火柴的数量，规定取最后一根火柴的为胜。规则1:如果一次参加的比赛数量被限制在至少一场，最多三场，我们如何才能获胜？例如，表上有n=15个匹配。甲乙双方轮流拿，甲方先拿。甲方应该怎么带他们赢？规则二:如果把一次取的匹配数限制在1比4，怎么才能赢？规则三:如何将一次取的匹配数限制在一些不连续的数，比如1，3，7？

16.周薪

“哎！约翰尼斯，”乔星期天在街上遇到一个年轻人，对他喊道，“好久不见，听说你开始工作了！”“几个星期，”约翰内斯回答道。“这是一份计件工作，我做得相当好。第一周我赚了四十多块钱，之后的每一周，我都比前一周多赚了99美分。”“真巧！”乔微笑着继续说，“愿你一如既往！”“我估计用不了多久我就能每周挣60美元，”年轻人告诉乔。“从开始工作到现在，我已经赚了整整407块钱。这个真的不差！”约翰内斯第一周赚了多少钱？

17.两个圆柱的面积相同，哪个体积大？

如右图所示，有一块长50cm，宽30cm的长方形铁皮。铁片可以卷成短边为母线的圆柱体(1)，也可以卷成长边为母线的圆柱体(2)。如果在它们下面加上一个底面，两个圆柱体中哪个体积更大？

回答:这个问题的答案并不明显。因为缸(1)底大但短，缸(2)底小但高，两者各有千秋。所以谁的体积大还得经过计算才能确定。

已知圆柱体(1)的高度为30cm，其底面的周长为50cm，因此其底面的半径为

的体积是v (1) =πR2？6?130=π

给定圆柱体(II)的高度为50cm，底面周长为30cm，底面半径为∴，圆柱体(II)的体积为V (II) =πr2？6?150=π( )2×50= ∴V (1) > V (2)表示圆柱体(1)的体积大于圆柱体(2)的乘积。

更高的挑战从上面的比较结果，我们可以得出一个结论，如果两个圆柱体的侧面面积相等，那么短粗圆柱体的体积一定大于高细圆柱体的体积。如果你想接受更高层次的挑战，请看下面的证明:

设矩形面积为s，一边为a，另一边为b，(设a & gtb)那么S=ab。

如果a是底面的周长，圆柱体的高度是b，圆柱体的体积v(1)= 1

若b为底面周长，则圆柱体的高度为a，圆柱体的体积为v(2)= > a & gt；b，∴v①> v②。

也就是在侧面面积相等的情况下，底部越大，圆柱体的体积越大。

18.能解决“哥德巴赫猜想”

据新闻晨报报道，前天，一位自称开创了模糊数学理论的老人给我们热线打来电话，说他已经解决了著名的哥德巴赫猜想。

这位老人名叫隋，今年66岁，来自新疆，住在交通路边的一家小旅馆里。在欢迎记者进入暗铺后，老人并没有急着介绍自己的论证方法，而是先拿出了一大堆各种“名人录”发给他的邀请函，表示自己的研究已经得到了全国多家机构的认可。在记者多次引导下，老人勉强把话题移到了主题上。

“虽然我只有中专学历，但后来还是考上了大学。‘文革’那几年，别人折腾我，我也没闲着。我自学了明朝永乐年间的《加减算法统一卷》，从此迷上了数学。”“陈景润关于哥德巴赫猜想的文章发表在1978年报上。在我看来，他的研究只能达到1+2的水平，方法是错误的。我当年就开始了模糊数学的理论，用新的理论很快完成了‘1+1’的论证，攻克了哥德巴赫猜想。”

经过对《云遮》的历史介绍，老人终于找到了“手稿”。让记者惊讶的是，仅仅一张写着16的白纸，就涵盖了老人所有的理论精髓，里面几乎没有深奥的高等数学，连文科出身的记者都能读懂。总结一下，老人的解题方式就是把哥德巴赫猜想原来的描述换成自己的描述，然后用自己的“模糊数学理论”把改变后的描述验证到符合哥德巴赫猜想的结果。

“你的描述绝对符合哥德巴赫猜想吗？”记者有些不解。

采访未能继续，因为在老人的床上，记者意外看到了《数学杂志》给老人的退稿信。上面说的是:在你的文章《模糊数学理论》、《哥德巴赫猜想》、《1+1定理》中，没有一个猜想实际上被证明过...

19.棋盘上的方块

标题:

八排八列的黑白方格组成棋盘。

可以组合成不同大小的方块。

这些正方形的大小从8×8到1×1不等。

问:在棋盘上可以找到多少个大小不同的方块？

回答:

* * *有1个8×8的正方形；4个7×7的正方形；9个6×6的正方形；16 5×5正方形；25个4×4的正方形；36个3×3的正方形；49个2×2的正方形；64个1×1的正方形，总共204个正方形。

20.蜜蜂用数学做什么？

蜜蜂…靠一些几何预见…知道六边形比正方形和三角形大，同样的材料可以储存更多的蜂蜜。

亚历山大的帕帕斯

蜜蜂没有学过几何，但是它们建造的蜂巢结构符合极小极大的数学原理。

对于正方形、等边三角形和等边六边形，如果面积都相等，那么等边六边形的周长最小。这意味着蜜蜂选择建造六边形柱状巢室，可以用更少的蜂蜡和更少的工作围起尽可能多的空间，从而比建造正方形或正三角形棱柱巢室储存更多的蜂蜜。

现在我们来证明正六边形的周长是正三角形、正方形和有一定面积的正六边形中最小的。

证明:设给定面积为S，面积为S的正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a3、a4、a6。规则

正三角形的周长

平方周长C4 = 4；正六边形圆周

21.扑克中的数学游戏

第一，巧妙安排顺序

放1-k * * * 13张牌，看起来顺序不对(其实是按一定顺序排列的)，把1的牌放在13的牌后面，拿出第二张牌，然后最后把1的牌放在手上，拿出第二张牌，以此类推。

请尝试一下！

打牌的顺序是:7，1，Q，2，8，3，J，4，9，5，K，6，10。

你知道这是怎么排出的吗？

这就是“逆向思维”的结果。按照最初的操作流程，把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K的顺序排列的牌反过来做就可以了。

你已经听过司马光砸罐子的故事了！孩子掉进水缸里，一般人考虑的是让孩子离开水，而司马光砸缸是为了让水离开孩子。这就是逆向思维，巧妙的打牌顺序也是逆向思维。学习生活中不能没有逆向思维。祝你早日有意识地这样思考，变得更聪明。

第二，巧妙的猜牌

[播放]

1.洗牌54张牌；

2.从54张牌中(面朝上)一张一张地数出30张牌，翻过来(面朝下)放在桌上。当表演者数到30张牌时，记住第九张牌的图案和号码。

3.从手中的24张牌中，请观众任选一张牌。如果是10，J，Q，K中的一个，则计为10分，放在一边，作为正面朝上的第一列；如果a1的牌数小于10(大小王数为0)，将此牌面朝上放在一边，从手中取10-A1的牌面朝下，放在此牌下作为第一列，然后请观众从手中取任意一张牌，按上述方法组成第二列；最后，请观众从手中任意抽出一张牌，按照上述方法组成第三列。如果他们手里的牌不够，就从桌上已经放好的30张牌补上，但必须从上到下取。

4.将每列第一张牌的点数a1、a2、a3相加得到A = A 1+A2+A3；

5.表演者从手里剩下的牌数开始，然后从放在桌上的30张牌中的第一张牌开始数(如果手里没有牌了，则从桌上剩下的第一张牌开始数)直到A牌，并准确地猜出这张牌的号码和颜色(即数30张牌时记录的第九张牌的颜色和号码)。

[原则]

三列中的卡片总数:

a = 3+(10-a 1)+(10-a2)+(10-a3)

=33-(a1+a2+a3)

手中剩余的牌数:

B=24-A。

∫B+9 = 24-A+9 = 33-[33-(A 1+a2+a3)]

=33-33+(a1+a2+a3)

=a，

从∴手中剩下的牌数来看，此时的第一张牌恰好是原来30张牌中的第九张。

22.鸽子洞原理与计算机算命

鸽子洞原理与计算机算命

“电脑算命”看起来很神秘。只要报出自己出生的年、月、日、性别，一按按钮，屏幕上就会出现一句所谓的性格、命运。据说这是你的“宿命”。

其实这充其量只是一个电脑游戏。我们可以很容易地用数学中的鸽子洞原理来说明它的荒谬性。

鸽子洞原理，又称鸽子笼原理或狄利克雷原理，是数学中证明存在性的一种特殊方法。举个最简单的例子，以任何方式把三个苹果放进两个抽屉，那么一个抽屉里一定有两个或者更多的苹果。这是因为如果每个抽屉里最多有一个苹果，那么两个抽屉里最多有两个苹果。使用同样的推理，我们可以得到:

原理1如果n个以上的物体放入n个抽屉，至少有一个抽屉里有两个以上的物体。

原则2如果N个抽屉里放了mn个以上的对象，那么至少有一个抽屉有m+1或者m+l个以上的对象。

如果按70年计算，按出生年月日性别不同的组合数应该是70× 365× 2 = 51100，我们把它当作抽屉数。中国现有人口是11亿，我们把这个数字当作“物”的数量。由于1.1×10的9次方= 21526×51100+21400，根据原则2，有21526以上的人，尽管他们的出身。

在古代中国，人们知道如何利用鸽子洞原理来揭露生辰的谬误。如清代陈启源在《闲斋笔记》中写道:“我不相信星宿推步论，以为一次生一人(注:一小时，二小时)，一天生十二人，从年龄上来说有四千三百二十人。算上一个贾(注:60年)，只有25.92万人。今天，只计算一个县。在此期间，诸侯出生的时候，必然有同时出生的人。富人和穷人的区别是什么？”这里一年按360天计算，一天分为十二个小时，得到的抽屉数是60× 360× 12 = 259200。

所谓“电脑算命”，无非是把人工编制的算命句子像中药柜一样，事先存放在各自的柜子里。谁要算命，就是根据出生日期、日期、性别的不同组合，按照不同的编码，从电脑柜子里机械地取出所谓的命运句子。把现代科学的光环套在古代迷信的死人身上，是一种亵渎。

23.鸡和兔子的问题

另一类属于二元线性方程组且解法简单的古代问题是“鸡兔问题”，它源于中国古代的一部数学著作《孙子兵法·计算》(生卒年不详，《孙子》作者生于公元4世纪，非《孙子兵法》作者孙武)。《孙子算经》第三十一题是:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。野鸡和兔子的几何形状是什么？书中给出了理解方法，最后的答案是:野鸡23，兔子12。这里的野鸡俗称山鸡。这类话题在中国通常被称为“鸡兔问题”。传到日本后，典型话题变成了“龟鹤同笼”，所以他们一般把这类话题称为“龟鹤问题”。

鸡兔问题在我国人民中广泛传播。在农村或牧区，在田间地头或人们休息时，有时会听到一些老人问少年这样的问题:“鸡不关三九，一百条腿在地上走。有多少只鸡？几只兔子？”这个问题的正常解法是设一只鸡为鸡，一只兔子为兔，列出一组线性方程组。

求解这个二元线性方程组就可以得到答案，所以应该说解决这样的问题并不难。但由于是田间提出的问题，一般不需要用纸笔计算方程和方程式(对了，前面说的“买龟哥”也属于田间提出的问题)，通常通过口算和心算(民间称之为“嘴对嘴的计算”)得出答案，有时还会用到简单巧妙的算法:“鸡同笼，一个自由。”有一个口算加心算的推理过程:如果一只兔子抬起前面的两条腿，那么每只鸡和兔子只有两条腿站在地上，39只鸡和兔子此时应该有78条腿站在地上，比前面的100条腿少了22条。这些腿是兔子抬起来的。由于每只兔子抬起两条腿，现在* * *抬起22条腿，所以我们知道，肯定有11只兔子，39只鸡和兔子的11只是兔子，也就是说，其中肯定有28只鸡。

还有其他简单的解决方法。例如，如果一只鸡有四条腿，39只鸡和兔子将有65，438+056条腿，比65，438+000条腿多56条腿，因为每只鸡多了两条腿。如果你多算两条腿，每只鸡都有56条多余的腿。可以看到有28只鸡，39只鸡和兔子，28只鸡和11只兔子。因为是心算，所以用更小的数字计算更方便，出错的机会也更少。因此，虽然两种算法相似，但后一种解决方案比前者稍微复杂一些。

作为练习，我们可以用上面的方法计算一下《孙子算经》中这个有1500多年历史的有趣问题，计算完后请自行核对答案。

在首届华金杯初中数学邀请赛中，有一位考官把鸡免试题改成了一个有趣的题目，写在下面供参考。

例2.7母松鼠晴天每天能摘20颗松子，雨天只能摘12颗。她已经连续采摘了112颗松子，平均每天14颗。这些天下了几天雨？

用来解决1松鼠妈妈* * *

112÷14=8(天)

如果连续8天晴，就可以采摘松子了。

20×8=160(件)，

雨天采摘的松子比晴天少。

20-12=8(件)，

现在* * *少采了。

160-112=48(件)

所以有雨天。

48÷8=6(天)

解决方案2松鼠妈妈花了8天时间摘松子。如果下了8天的雨，就只能摘松子了。

12×8=96(个)，

晴天比雨天多摘松子。

20-12=8(件)，

现在* * *多姿多彩。

112-96=16(件)

所以天气晴朗

16÷8=2(天)

下雨了

8-2=6(天)

这里说的是上面提到的“鸡免检问题”的两个简单解决方法。对于参加竞赛的小学生来说，不可能把列方程作为考试要求，所以不会用列方程解方程写出标准答案。

以上问题都是关于二元联立方程在某些特殊情况下的简单解。我们之前说过，用级数方程解方程是数学的基本功，必须牢牢掌握。简单的解决方案必须基于扎实的基本功。

线性联立方程在数学上称为“线性方程组”，其指标数可以是两个、三个、四个或多个，但每个方程只能是一个线性方程。在我国，两千年前成书的《九章算术》和公元263年三国时期杰出数学家刘徽所作的《九章算术注》对这类方程的理解方法进行了系统阐述。这就是今天线性代数中通过矩阵的初等变换将增广矩阵转化为阶梯矩阵的方法。一千百年后，19世纪初，杰出的德国数学家高斯也发现了这一方法。此后，在世界各地(包括中国)的书籍中被称为“高斯消去法”。其实“高斯消元法”是中国的一个古老定律(有兴趣的读者可以参考1985的《数学通报》第8期的“线性代数简史”和1992的《教材通讯》第1期的“高斯消元法是中国的一个古老定律”)。