求初三数学难题解答！（高分悬赏）

①A点坐标为(-1,0) ，B点坐标为(4,5)

A、B在抛物线上，代入A、B坐标计算得到抛物线方程为

y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 -4

则有b = -2 , c = -3 , D点坐标为(1,-4)

②直线AB的斜率为 k1 = 1

要找到抛物线上一点F使得FA⊥AB，那么FA的斜率k2须满足 k1·k2 = -1 , 即k2 = -1

设F(m,n) , 则AF斜率 k2 = n/(m + 1) = -1 , 即 n = -m - 1

又因为点F在抛物线上故而有

n = (m-1)^2 -4 = -m-1

解得m = 2 或 m = -1(显然舍去)

故而存在F点满足题意，其坐标为(2,-3)

③F为AB下方抛物线上的一个动点，要使得FAB的面积最大，就是要求出F到直线AB距离最远的点。

将直线AB向下方平移，越向下平移，两条直线距离越远，平移后的直线A'B'与抛物线先有两个交点，然后一个交点（相切），最后相离，显然，当直线A'B'与抛物线相切的时候，向下平移最大，因此切点就是满足题意的点F， 那么设直线A'B'（斜率为1）的方程为 y = x - t

该直线与抛物线y = x^2 -2x -3有且只有一个交点，联立方程根据判别式为零可解得 t = 21/4

解得点F坐标为 (3/2 , -15/4)

④在上一问的前期下，F点坐标为(3/2 , -15/4) , AB的方程为 y = x + 1

那么E点的坐标为(1.5 , 2.5)

因为FE是垂直于x轴的，

如果F是直角顶点，那么过F点做x轴的平行线与抛物线交于另外一点P.

将y = -15/4代入抛物线方程可得 x = 3/2 或1/2，那么P点坐标为(1/2,-15/4)

如果E为直角顶点，那么将 y = 2.5 代入抛物线方程可得 x = 1 ± 根号下6.5