什么是数学思想？救命啊！！
“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高层次的概括和抽象，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是其对应的“数学方法”的精神实质和理论基础，“数学方法”是实施相关“数学思想”的技术和操作程序。中学数学中使用的各种数学方法都体现了一定的数学思想。数学思想属于科学思想，但科学思想不一定是数学思想。一些数学思想(如“一分为二”的思想、“转化”的思想)和逻辑思想(如完全归纳法的思想)因其在数学中的应用而被“数学化”，也可称为数学思想。
基本的数学思想包括:符号与自变量表示的思想，集合的思想，对应的思想，公理化与结构的思想，数形结合的思想，变换的思想，函数与方程的思想，整体的思想，极限的思想，抽样统计的思想等等。我们在根据空间形态和数量关系对研究对象进行分类时，也是把分类思想作为基本的数学思想。基本数学思想有两个基石——符号和论证表示的思想和集合的思想，还有两个支柱——对应的思想和公理结构的思想。基本的数学思想和由此衍生的其他数学思想形成了一个高度结构化的网络。
数学渗透着基本的数学思想，是基础知识的灵魂。如果能把它们放到我们学习和应用数学的思维活动中，就能在发展我们的数学能力中起到方法论的作用，这对学习数学、发展我们的能力、发展我们的智力都是非常重要的。
所谓数学思维，是指反映在人的意识中的现实世界的空间形式和数量关系，以及思维活动的结果。数学思想是对数学事实和理论概括后的本质认识；基础数学思想是体现在或应该体现在基础数学中的最根本、最概括、最广泛的数学思想。它们包含了传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，是历史发展的。
“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高层次的概括和抽象，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是其对应的“数学方法”的精神实质和理论基础，“数学方法”是实施相关“数学思想”的技术和操作程序。中学数学中使用的各种数学方法都体现了一定的数学思想。数学思想属于科学思想，但科学思想不一定是数学思想。一些数学思想(如“一分为二”的思想、“转化”的思想)和逻辑思想(如完全归纳法的思想)因其在数学中的应用而被“数学化”，也可称为数学思想。
20世纪以来，由于基础数学学科中重要思维方法的出现，特别是数学公理的形成和基础数学理论研究的深入发展，人们逐渐关注数学各分支之间的内在联系，开始关注数学思维方法本身的产生和发展规律的探讨。许多著名数学家从事了数学思想方法理论的研究，取得了丰富的研究成果，为我们今天研究数学思想方法教学提供了理论基础，为数学思想方法教学的顺利进行提供了可能。
自20世纪50年代以来，许多著名数学家，特别是长期从事教育工作的数学家，集中精力研究数学的教育功能，取得了一系列理论研究成果。比如保利亚写的《数学与猜想》和密山国家图书馆出版的《数学的精神、思想与方法》都是研究成果。
20世纪80年代，数学方法论作为一门研究数学发展规律、数学思维方法和数学发现、发明、创新规律的新兴学科，在我国数学界，特别是数学教育界得到了广泛关注。在此期间，许立志的《数学方法论讲义》和郑雨欣的《数学方法论导论》具有重要意义，这些著作具有开创性和奠基性。这些著作直接推动了我国数学教育界对数学思想方法和教学的研究。
20世纪90年代，随着教育改革的不断深入，国内许多专家学者对数学思想方法和教学的研究越来越感兴趣，出版了许多新书，如先生的《数学方法论导论》、先生和郭先生合著的《数学方法论初稿》等。许多有价值的论文发表在许多报纸和杂志上。特别是在国家教委8月制定的《九年义务教育数学教学大纲》1992明确数学思想方法是数学知识的组成部分后，人们更加重视数学思想方法的教学，数学思想方法的教学研究得到了深化和拓宽，解决了许多实际教学问题，极大地推动了我国数学教育改革的进程，成为一个独特而影响深远的研究课题。那么，到底什么是数学思维方法呢？
“方法”一词源于希腊语，字面意思是沿着道路前进。它的语义解释是指为了达到某种目的而必须遵循的一些调整原则的解释。苏联百科全书说:“方法是指研究或认识的方法、理论或学说，即在实践或理论中通过把握现实来解决具体问题的手段或操作的总和。”美国麦克莱伦公司的《哲学百科全书》将方法解释为“按照给定的程序，为达到既定的结果而必须采取的步骤。”《中国辞源》对“法”的解释是“法、幻或幻”。从科学研究的角度来看，方法是人们用来研究和解决问题的手段和工具。这些手段和工具与人们的知识、经验和理论水平密切相关，是指导人们行动的原则。中国古代艺术著作《三十六计》开篇就写道:“六，六，三十六计，数中有术，术中有数。”说明古人早就意识到了数学与策略、方法的密切关系。我们认为数学方法是提出、分析、处理和解决数学问题的一般策略。
在现代汉语中，“思想”被解释为通过思维活动反映在人的意识中的客观存在的结果。在《辞海》中，“思想”被称为理性知识。《中国大百科全书》认为“思想”是理性认识相对于感性认识的结果。苏联百科全书指出:“思想是解释客观现象的原理。”毛泽东在《人的正确思维从哪里来》一文中说:“感性认识的材料积累多了，就会产生飞跃，变成理性认识，这就是思想。”综合起来看，思维是认识的高级阶段，是对事物本质的、高级的抽象概括。我们认为，数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的精华，是数学中高度抽象和概括的内容，蕴含在运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程中。
数学思想是对数学事实、概念和理论的本质理解，是数学知识的高度概括。数学方法是数学思想在数学认知活动中的具体反映和体现，是解决数学问题、实现数学思想的手段和工具。从广义上讲，数学思想和方法是数学知识的一部分。
(一)数学思维的结构
数学思想的范围很广，中学常用的基本数学思想有:
(1)改造的思路。数学充满了矛盾，复杂与简单，困难与容易，一般与特殊，未知与已知。通过转化，可以化繁为简，化难为易，化一般为特殊，化未知为已知，解决矛盾。解决数学问题的过程，其实就是从条件到结论的过程。从条件出发，首先得出一个过渡结论，然后逐步转化得到最终结论。所以，化归是数学中最基本的思想。具体来说，有加减、乘除、乘与根、指数与对数、高阶到低阶、多元到一元、三维到二维等变换。
②函数和方程的思想。函数描述了自然界中量与量的依赖关系。函数的思想是从实际问题中抽象出数量关系的特征，建立函数关系，从而研究变量的变化规律。
方程的思想是在解题时设定一些未知数，然后根据问题的条件找出已知数与未知数的等价关系，列出方程，最后通过求解方程的未知数的值来解题。
③逻辑划分的思想。又称分类讨论的思想，其实质是根据问题的要求确定分类的标准，对研究对象进行分类，然后分别解决每一类，最后得出综合结论。
④数形结合的思想。数形结合就是把数量关系与空间图形、抽象思维与形象思维结合起来，把数量关系转化为图形性质，用几何方法解决代数问题，或者把图形性质转化为数量关系，用代数方法解决几何问题。
(2)基本数学方法的结构
通常有两种基本的数学方法:
①数学思维方法。这是数学方法中较高层次的方法，是数学中的思维方法，包括分析、综合、抽象、概括、观察、实验、联想类比、猜想、归纳、演绎、概括、特殊化。
②数学解题方法。这是一种通用的数学解题方法，相对于特殊的解题技巧来说是通用的。
定律包括配点法、换元法、消元法、替换法、待定系数法、参数法等。
前面我讲过重视数学知识的发生、形成和发展的教学对有效形成学生认知结构的重要作用。同时我们也知道，问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。无论是数学概念的建立，数学规律的发现，数学问题的解决，甚至是整个“数学大厦”的搭建，核心问题都在于数学思维方法的培养和建立。因此，在教学中，我不仅重视知识形成的过程，而且非常重视发现数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴含的重要思想方法。“数学科学”之所以从自然科学中分离出来，成为现代科学的十大部门之一，并不是因为数学知识本身，而是因为数学思想和意识的重要作用。人的一生中，最有用的不仅仅是数学知识，还有数学思想和意识。因此，我们应该不失时机地在小学数学教学中渗透思维方法。
(一)“单位”观念的渗透
在数学中，“数”和“量”的计算都得益于“单位”的思想。
1.注意“1”是自然数的单位这一思想。
可以说，没有“1”就没有自然数，也就没有完整的数学体系。所以从一年级开始，我就很注重“单位”思想对学生的渗透。
(1)在我认识10以内的数之前，我非常重视“1”和“多”的教学。老师展示了一篮子苹果，说篮子里有“很多”苹果。并让学生把篮子里的苹果一个个放进每个小盘子里，那么每个小盘子就是“1”个苹果。然后从篮子里的每个盘子里放一个苹果，篮子里就有“很多”苹果了。在上述演示过程中，让学生体验“多”与“1”的关系:“多”由一个“1”组成；“多”可以分为“1”。“多”是代表“1”。
(2)在10以内的数的理解阶段，注意每个数与“1”的关系，强调几个“1”可以合成这个数。比如在教“7”的时候，我不先显示“6”，然后加上“1”，向学生解释这是“7”；而是一次展示七个对象，直接与一个对象进行比较，让学生明白“7”就是七个“1”；其次，是揭示“7”与之前已知数字的关系，尤其是它前面最接近的数字“6”。
(3)在教授100、10000以内的数的理解时，我们仍然强调“1”是自然数的单位，并注意与“十”、“百”、“千”、“万”等计数单位相区别。
2.在量的测量教学中应注意“测量单位”的引入。
数量计量教学的首要问题是合理引入计量单位。从历史上看，任何计量单位的引入都有一个漫长的历史过程。作为教科书，不可能也没有必要花大力气去解释这个过程。但作为教师，根据教学的实际情况，适当展示其简单的过程和思维方法，有利于培养学生的创造性思维品质和勇于探索追求真理的精神。比如在“面积和面积单位”的教学中，当学生不能直接比较两个图形的大小时，就引入“小方块”，在比较的两个图形上逐一展开。这样不仅比较了两个图形的大小，还“量化”了两个图形的面积。把形的问题变成数的问题。在这个过程中，学生亲身体验“小方块”的作用。然后通过“小正方形”的大小必须统一的教学过程，让学生深刻认识到任何量的量化都要有一个标准，而且标准要统一。自然渗透了“单位”的思想。
再比如，在“时、分、秒”的教学中，我在引入新课之初设计了以下流程:(1)老师发出两个“啊”的声音(两个时间明显不同)，问学生哪个“啊”用的时间更长？然后，老师分别举起左手和右手(左手和右手握的长度明显不一样)。问学生左右举手需要多长时间。设计这个教学过程的目的就是让学生体验到，虽然时间是看不见摸不着的，但是我们可以用眼睛和耳朵感受到时间确实存在。(2)老师发出两次“啊”的声音，举起左右手，但时间几乎相同，学生很难判断两次“啊”的时间和左右手举手的时间。以至于学生觉得单靠感觉解决不了问题。(3)老师再次举起左手和右手，并统计举起左手和右手的时间。当你举起左手时，你数五次，当你举起右手时，你以同样的速度数六次，这样学生很快就知道举起右手需要更长的时间。在这里，虽然左手和右手的区别仍然不大，但是很容易判断，因为学生知道“数”是一个“单位”。让学生感受到引入客观“标准”的必要性。很自然地引出应该有一个“单位”来计算时间的长短，从而适时地渗透了“单位”的思想。
(二)思维方式转换的渗透
化归思想是小学数学中重要的思维方法之一。所谓“转化”，可以理解为“转化”和“还原”。我认为:作为一名小学数学教师，在教学中重视并正确运用“转化思想”，可以促使学生把握事物的发展过程，对事物的内部结构、纵横关系、数量特征有更深刻的认识。这里有几个例子。
1.四则运算“巧用法则”。
四则运算问题很多，虽然可以按照常规的运算顺序一步一步计算出正确的结果，但是由于数据复杂，计算非常复杂。如果能利用恒等式变换，使题目的结构适合某个“模型”，并利用我们所学的规律和性质来解答，那么一蹴而就就。
例如，计算1.25×96×25。
把96分解成8×4×3，然后用乘法交换律和结合律计算，非常方便。
1.25×96×25=1.25×8×4×3×25
=(1.25×8)(25×4)×3
=10×100×3
=3000
方便将第二个因子18转化为(17+1)，用乘除法求解。
2.面积计算“转换图”。
求解一些组合几何图形的面积，利用变换的思想，通过旋转、平移、折叠、剪切等手段，使原图形“变形”，可使问题变得难易，求解自然水到渠成。
比如:下图左边的图片。一个大正三角形的面积是28平方厘米。求一个小正三角形的面积。
很难看出图中大小等边三角形的面积关系。如果把小等边三角形“旋转”成右图，就会出现四个全等的小等边三角形，答案就很容易得到了。小正三角形的面积是:
28÷4=7(平方厘米)。
其实在小学课本中，除了矩形面积计算公式，其他平面图形的面积计算公式都是通过对原图形进行变换得到的。在教学中，我们应该抓住机会，利用这些图形变换来渗透我们的思想。
3.理解“从这里到那里”的量。
有些题目，根据平时已知量的分析和组合，往往会觉得很难，甚至会患上“条件不足”。但只要打破思维定势，从新的角度分析数量关系，就会找到解决问题的正确方法。
比如下图是一面直角梯形的墙。试着用2公斤的颜料画阴影部分。照此计算，粉刷这面墙需要多少油漆？
如果按惯例解决面积、单位量、总量之间的关系，必须先计算墙体面积。与已知条件相比，你会不知所措。如果换个方法，先计算阴影面积占整面墙面积的比例，再根据阴影部分的已知量计算整面墙的总量，就很容易解决问题了。
阴影区域:整个梯形区域。
4.数学语言“可互换表达式”。
数学语言有三种:通用语言、图形语言和符号语言。比如“圆锥体的体积”在符号语言中表示为v = 1/3sh，在通俗语言中表示为“圆锥体的体积等于与其底面等高的圆柱体体积的三分之一”。教材还配有图形语言。因为数学语言的三种形式各有特点，图形语言直观，符号语言简洁准确，通用语言通俗易懂。在小学阶段，由于学生的思维还处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，所以课本上以图形语言和普通语言为主，但很多地方也出现了符号语言。因此，在数学教学中，加强各种数学语言的转换，可以加深对数学概念和命题的理解和记忆，有助于学生审题和探索解题思路。
(三)象征思维的渗透
数学符号在数学中占有非常重要的地位。英国著名哲学家、数学家罗素也说过，什么是数学？数学是符号加逻辑。面对一个普通的数学公式:S=πr2，任何一个受过小学教育的人都知道这意味着什么，无论他来自何方。数学的符号语言，不分国家，不分种族，随处可用。世界交流需要数学符号语言。
在一个简单的不等式中:3+□ < 8，□对于小学生可以说是表示很多个数(0，1，2，3，4)，对于高年级学生可以说是表示无数个数(0 ≤□ < 5)。那么，同学们可以看到:□我深刻的理解到，符号以其浓缩的形式可以表达很多信息。同时，运用符号思维可以大大简化运算或推理过程，加快思维速度，提高单位时间的效率。
符号思维的本质有两个方面:一是要有尽可能用数学符号表达实际问题的意识；二是充分把握每个数学符号的丰富内涵和现实意义。因此，无论是元素符号、运算符号、关系符号、组合符号等。，我注意到了以上两点。比如在解释数字符号“5”时，一方面强调一只手的手指“那么多”的物体的数量可以用符号“5”来表示。同时，让小学生看“5”，说出它的内涵。比如说，说出五个人，五支笔，五辆车。对于小学课本上的数学公式和运算法则，我不仅尝试让学生用符号来表达，还要求他们完整地说出每个公式和运算法则的含义。
小学生不容易把客观现实中存在的事物和现象及其关系抽象成数学符号和公式。这是因为符号化有一个从具象-表现-抽象-符号化的过程。因此，需要逐步培养小学生的抽象概括能力。比如在实际问题的教学中，我经常训练学生从复杂的情节和关系性的叙述中，浓缩提炼数量关系。这不仅有利于解决问题，也有利于培养和提高相应的能力。
小学阶段，课本上现有的数字符号语言并不多，对小学生掌握多少符号语言不应有过多要求。但在日常教学中，我们数学教师应该有这样一种强烈的意识:注重符号思维的渗透；重视小学生抽象概括能力的培养。