数学竞赛试题

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．函数 在 上的最小值是 （ C ）

A．0 B．1 C．2 D．3

[解] 当 时， ，因此

，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．

2．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 （ D ）

A． B． C． D．

[解] 因 有两个实根

， ，

故 等价于 且 ，即

且 ，

解之得 ．

3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为 （ B ）

A. B. C. D.

[解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有

，

，

，

故 ．

[解法二] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.

令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙在第 局比赛中获胜．

由独立性与互不相容性得

，

，

，

故 ．

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）

A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3

C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ，则有 ， ，不妨设 ，从而 ， ．故 ． 只能取9，8，7，6．

若 ，则 ，易知 ， ，得一组解 ．

若 ，则 ， ．但 ， ，从而 或5．若 ，则 无解，若 ，则 无解．此时无解．

若 ，则 ，有唯一解 ， ．

若 ，则 ，此时 ， ．故 ，但 ，故 ，此时 无解．

综上，***有两组解 或

体积为 cm3或 cm3．

5．方程组 的有理数解 的个数为 （ B ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

[解] 若 ，则 解得 或

若 ，则由 得 ． ①

由 得 ． ②

将②代入 得 ． ③

由①得 ，代入③化简得 .

易知 无有理数根，故 ，由①得 ，由②得 ，与 矛盾，故该方程组***有两组有理数解 或

6．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是

（ C ）

A. B.

C. D.

[解] 设 的公比为 ，则 ，而

．

因此，只需求 的取值范围．

因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组

即

解得

从而 ，因此所求的取值范围是 ．

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则 5 .

[解] 由题意知

，

由 得 ， ，因此 ， ， ．

8．设 的最小值为 ，则 ．

[解]

，

(1) 时， 当 时取最小值 ；

(2) 时， 当 时取最小值1；

(3) 时， 当 时取最小值 ．

又 或 时， 的最小值不能为 ，

故 ，解得 ， (舍去)．

9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法***有 222 种．

[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用 表示名额．如

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．

若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于 个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有 种．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法***有253－31＝222种．

[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

．

的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：

．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法***有253－31＝222种．

10．设数列 的前 项和 满足： ， ，则通项 = ．

[解] ，

即 2

= ，

由此得 2 ．

令 ， ( )，

有 ，故 ，所以 ．

11．设 是定义在 上的函数，若 ，且对任意 ，满足

， ，则 = ．

[解法一] 由题设条件知

，

因此有 ，故

．

[解法二] 令 ，则

，

，

即 ，

故 ，

得 是周期为2的周期函数，

所以 ．

12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．

[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心．

因

，

故 ，从而 ．

记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则

．

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2．记正四面体

的棱长为 ，过 作 于 ．

因 ，有 ，故小三角形的边长 ．

小球与面 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

．

又 ， ，所以

．

由对称性，且正四面体***4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积***为 ．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证：

．

[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在 内相切，其切点为 ， ．

…5分

由于 ， ，所以 ，即 ． …10分

因此

…15分

． …20分

14．解不等式

．

[解法一] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于

．

即 ． …5分

分组分解

， …10分

所以 ，

． …15分

所以 ，即 或 ．

故原不等式解集为 ． …20分

[解法二] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于

． …5分

即

，

， …10分

令 ，则不等式为

，

显然 在 上为增函数，由此上面不等式等价于

， …15分

即 ，解得 ( 舍去)，

故原不等式解集为 ． …20分

15．如题15图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．

[解] 设 ，不妨设 ．

直线 的方程: ，

化简得 ．

又圆心 到 的距离为1，

， …5分

故 ，

易知 ，上式化简得 ，

同理有 ． …10分

所以 ， ，则

．

因 是抛物线上的点，有 ，则

， ． …15分

所以

．

当 时，上式取等号，此时 ．

因此 的最小值为8．