克拉默法则

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。

1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解。

2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零。

3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

克拉默法则（Kramer's rule）是一种直接用行列式解线性方程组的方法。把线性方程组记为矩阵乘法的形式。

Ax=b(1)(1)Ax=b

其中?AA?为系数矩阵。当?AA?为?N×NN×N?的方阵且行列式?|A|≠0|A|≠0?时（即满秩矩阵），方程有唯一解（见 “线性方程组解的结构”）。该解可以用克拉默法则直接写出：

xi=|Ai||A|(i=1,…,N)(2)(2)xi=|Ai||A|(i=1,…,N)

其中?AiAi?是把?AA?的第?ii?列替换为?bb?而来。

例如：解方程组

令式 1?中?A=(21?13)A=(21?13)，b=(45)b=(45)，求解方程组。

解：|A|=7|A|=7，|A1|=∣∣∣4153∣∣∣=7|A1|=|4153|=7，|A2|=∣∣∣24?15∣∣∣=14|A2|=|24?15|=14。代入式 2?得?x=(12)x=(12)。

在数值计算时，克拉默法则解方程组效率较低，直接用高斯消元法求逆矩阵高斯消元法求逆矩阵会更快。

推论1）n元齐次线性方程组有惟一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆（矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关）；

2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。

xml法则总结

1.克莱姆法则的重要理论价值：

1）研究了方程组的系数与方程组解的存在性与惟一性关系；

2）与其在计算方面的做用相比，克莱姆法则更具备重大的理论价值。（通常没有计算价值，计算量较大，复杂度过高）

2.应用克莱姆法则判断具备N个方程、N个未知数的线性方程组的解：

1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具备惟一的解；

2）若是方程组无解或者有两个不一样的解，那么方程组的系数行列式一定等于零；

3）克莱姆法则不单单适用于实数域，它在任何域上面均可以成立。

3.克莱姆法则的局限性：

1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效；

2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

不确定的情况

1.当方程组没有解时，称为方程组不兼容或不一致，当存在多个解决方案时，称为不确定性。对于线性方程，不确定的系统将具有无穷多的解（如果它在无限域上），因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。

2.克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下，如果系数行列式为零，则如果分子决定因子为非零，则系统不兼容，如果分子决定因素为零，则系统不兼容。

3.对于3×3或更高的系统，当系数行列式等于零时，唯一可以说的是，如果任何分子决定因素是非零的，那么系统必须是不兼容的。然而，将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x + y + z = 1，x + y + z = 2，x + y + z = 3的一个简单的例子，其中所有决定因素消失（等于零）但系统仍然不兼容。

克拉默法则适用于变量和方程数目相等的线性方程组。克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系；与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。

克拉默法则怎么用

克拉默法则解方程组过程：先求系数行列式，再求各未知数对应的行列式，相除得到方程的解。

应用克拉默法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零

（3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

克莱姆法则的局限性：

（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。

（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

克拉默法则产生时间：这项法则是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。

作者介绍：克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信 中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。

作者成就：主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。