什么是莫比乌斯带？
什么是莫比乌斯圈？
莫比乌斯圈(m？bius strip，M？Bius band)是一种单面无方向性的曲面。因为a.f .莫比乌斯(奥古斯特费迪南德M？Bius，1790-1868)。将一个长方形长条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，AB和CD粘合在一起，得到的曲面就是莫比乌斯圈。
莫比乌斯圈的发现；
数学界流传着这样一个故事:有人曾建议将一张长方形的纸首尾相连地粘成一个纸圈，然后只允许在纸圈的一面涂上一种颜色，最后将整个纸圈涂成一种颜色，不留任何空白。这个纸圈应该怎么粘？如果用粘纸条做成的纸圈有两面，就要先画一面再画另一面，不符合绘画的要求。可以做成只有一边，以封闭曲线为边界的纸圆吗？
对于这样一个看似简单的问题，很多科学家认真研究了几百年，结果都没有成功。后来，德国数学家莫比乌斯对此产生了浓厚的兴趣。他潜心思考，实验了很久，也没有结果。
有一天，他被这个问题问晕了，去野外散步。新鲜的空气和凉爽的风让他一下子感到轻松和舒适，但他的脑海里仍然只有那个还没有找到的圈子。
一片片肥大的玉米叶子在他眼里变成了“绿色的音符”，他忍不住蹲下来，拨弄着，观察着。叶子被压弯拉下来，很多扭曲成半圆形。他随手撕下一片，顺着叶子自然扭曲的方向对接成一个圆圈。他惊喜地发现，这个“绿圈”正是他梦寐以求的那种圈。
莫比乌斯回到办公室，剪下一张纸，把纸的一端扭曲180，然后把两端粘在一起，这样就做了一个只有一面的纸圈。
圈圈做好之后，莫比乌斯抓了一只小甲虫放在上面爬。结果，小甲虫爬遍了圆圈的所有部分，没有越过任何边界。莫比乌斯圈兴奋地说:“美丽的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈只有一面。”莫比乌斯圈就是这样被发现的。
奇妙的莫比乌斯圈:
在做了几个简单的实验后，我们会发现“莫比乌斯圈”有很多令人惊讶和有趣的结果。
你围成一个圈，贴好。转了一圈，可以发现另一边的入口被堵住了。这就是原则。
如果你在一张剪好的纸中间画一条线，把它粘成一个“莫比乌斯圈”，然后沿着这条线剪开，把这个圈一分为二，你应该得到两个圈。奇怪的是，切开后竟然是一个大圈。
如果你在一张纸上画两条线，把这张纸分成三等份，然后把它粘成一个“莫比乌斯圈”，用剪刀沿着画线剪开，剪刀绕两圈后又回到原来的起点。你猜，剪了之后的结果是什么？是一个大圈吗？还是三圈？都不是。到底是什么？自己做实验就好了。你会惊奇地发现，你没有把纸带一分为二，而是剪出了两倍长的纸圈。
有趣的是，新得到的长纸圈本身就是一个双面曲面，它的两个边界并没有打结，而是嵌套在一起。我们可以再沿着中心线把纸圈切开，这次真的一分为二了！你得到的是两个相互嵌套的纸圈，原来两个边界分别包含在两个纸圈里，但是每个纸圈本身并没有打结。
至于莫比乌斯圈的单边性，可以直观地理解为:如果莫比乌斯圈是彩色的，那么彩色笔总是沿着曲面移动，不越过它的边界。最后，莫比乌斯圈的两面都可以着色，就是分不清什么是正面，什么是背面。对于圆柱面就不一样了，不可能一边上色一边不越界。单边主义也叫单向性。以曲面上除边以外的各点为中心画一个小圆，并为每个小圆指定一个方向，这个方向称为伴随莫比乌斯圈单侧曲面中心点的方向。如果两个相邻的点能伴有相同的方向，则称该曲面是可定向的，否则称其为不可定向的。莫比乌斯圈是无方向性的。
莫比乌斯圈还有更离奇的特征。一些在飞机上解决不了的问题，在莫比乌斯圈里居然解决了。比如普通空间无法实现的“手套易位问题”:人的左右手手套虽然很像，但本质上是不一样的。我们不能把左手的手套正确地戴在右手上；你不能把右手的手套正确地戴在左手上。不管你怎么扭来扭去，左手套永远是左手套，右手套永远是右手套。但是，如果把它移到莫比乌斯圈，就好解决了。
《手套易位问题》告诉我们，左右手的物体，在一个扭曲的表面上被阻挡时，可以通过扭曲变形。让我们展开想象的翅膀，想象我们的空间在宇宙的某个边缘，呈现出莫比乌斯带般的弯曲。然后，总有一天，我们的星际宇航员会带着左胸的心脏出发，带着右胸的心脏返回地球！看，莫比乌斯圈多神奇啊！但是，莫比乌斯圈有一个非常明显的边界。这似乎是美中不足。公元1882年，另一位德国数学家费利克斯？费利克斯·克莱因(1849 ~ 1925)最终发现了一个没有明显边界的自封闭模型，后来以他的名字命名为“克莱因瓶”。这个奇怪的瓶子实际上可以看作是一对沿着边界粘合在一起的莫比乌斯圈。
通常一张纸两端对接得到的纸环是有两面的。你拿一张纸，把一端扭转180度，对接。所以你用铅笔在纸带的中心点一个点，然后从这个点沿着纸带画一条线，画一个圆。这两点重合，但不在同一平面上。如果你想回到远方，你必须再走一遍。莫比乌斯圈其实是一个怪圈。
莫比乌斯圈的应用；
数学中有一个重要的分支叫“拓扑学”，主要研究几何图形在不断改变形状时的一些特征和规律。“莫比乌斯圈”已经成为拓扑学中最有趣的片面问题之一。莫比乌斯圈的概念已经广泛应用于建筑、艺术和工业生产中。利用莫比乌斯圈的原理，我们可以建造立交桥和道路来避免交通堵塞。