求数学帝

⑴证明：

设p坐标为（x，y）

根据焦半径公式，PF1的长度为√a+ex，PF2长度为ex-√a，PO?=x?+y?，

那么PF1·PF2=2x?-a,

而PO?=x?+y?=x?+（x?-a）=2x?-a

∴PF1·PF2=PO?

∴PF1，PO，PF2成等比数列

⑵设双曲线的右焦点为F2（4，0）

∴PF-PF2=2a=4（P点在双曲线的右支上）

∴|PF|+|PA|=PF2+4+PA=4+（PA+PF2)

画出草图可以看到，PA+PF2＞AF2（△两边和＞第三边）

当且仅当P，A，F2三点在同一直线上的时候PA+PF2=AF2

此时PA+PF2=AF2=5，即PA+PF2≥5

∴|PF|+|PA|最小值为9

⑶ 设直线与双曲线的两个交点为A（x1,y1)和B(x2,y2)

则x?1/4-y?1=1

x?2/4-y?2=1

两式相减，(x?1-x?2)/4-(y?1-y?2）=0

∴（x1-x2）·(x1+x2)/4-(y1-y2)·(y1+y2)=0

∵M是AB的中点，∴x1+x2=6,y1+y2=-2

∴(y1-y2)/(x1-x2)=-3/4

这正好是直线的斜率

是直线方程为y-(-1)=(-3/4)·（x-3）

化简为y=-3x/4+5/4