数学硬币问题组合

设二元、五元及十元的数量分别为 a、b 和 c。则 100 ≥ a

b

c ≥ 0 及 a + b + c = 100。则 n = 2a + 5b + 10c。假设有另一组 (a

b

c) 的数值（说 (a'

b'

c')）使得 n 的数值一样，则 2a + 5b + 10c = 2a' + 5b' + 10c' = n，而 a' + b' + c' = 100。 => 2(a+b+c) + 3b + 8c = 2(a'+b'+c') + 3b' + 8c' => 2×100 + 3b + 8c = 2×100 + 3b' + 8c' => 3(b - b') = 8(c' - c) 当 b = 0，(a

b

c) 的组合有 101 个（a 为 0 至 100 的整数，而 c = 100 - a） 当 b = 1，(a

b

c) 的组合有 100 个（a 为 0 至 99 的整数，而 c = 99 - a） 当 b = 2，组合有 99 个；当 b = 3，组合有 98 个；当 b = 4，组合有 97 个；当 b = 5，组合有 96 个；当 b = 6，组合有 95 个；当 b = 7，组合有 94 个。 当 b ≥ 8，必存在 b' = b - 8 及 c' = c + 3 使得 3(b - b') = 8(c' - c) => (a

b

c) 和 (a'

b'

c') 时 n 的数值一样。 因此当 b ≥ 8，再没有与 b = 0 至 7 的整数中不同的 n 的数值，故 n 的可能值数量为当 b = 0 至 7 的整数时 (a

b

c) 的组合： = 94 + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 + 101 = 780 答案为 780。

2文就有200，5文就有500，10文就有1000。 2015-06-02 20:14:57 补充： 有错吗﹖没有喔﹗