什么是超越数?

不能满足任何整系数多项方程式的复数叫作超越数。

超越数的概念，首次出现在1748年出版的欧拉的著作《无穷分析引论》之中。他在该书第一卷第六章中，未加证明地断言：“如果数b不是底a的幂，其对数就不再是一个无理数。事实上，如果有假如a,b都是有理数，这等式不能成立，因而对于这种不是底a的幂的数b，其对数应当恰如其分地命名为超越数。”历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔（J.Liouville,1809~1882）,他于1851年构造了一个数：这个无限小数后来被称为“刘维尔数”。刘维尔成功地证明了这个数是一个超越数。 既然复数集合中既包含代数数，又包含超越数，那么它们各有多少呢？在“刘维尔数”构造出来之后二十多年，数学家康托证明了：所有代数数的集合是可数的，即代数数的个数与自然数一样多！在此基础上，康托根据他的集合论中的另外一个结论——实数集是不可数的，得知复数集也是不可数的，因而进一步得到一个结论：必定存在不是代数数的复数，因此超越数必定存在！这是关于超越数的存在性的第一个非构造性的证明，换句话说，康托并没有构造出一个具体的超越数就证明了它们的存在！数学中的许多证明就是用非构造性的方法来实现的。刘维尔的方法则是构造性的方法，即实际地生成一个对象并给出证明。这两种方法都是数学证明中的常用方法。一般情况下，我们考虑一个具体的对象比考虑一个抽象的对象要容易得多，但在数学中，有时却恰恰相反：证明某个具体的数是超越数远比非构造性地证明超越数的存在性更为困难和复杂。继刘维尔之后，数学家们为了证明某些具体的数的超越性付出了种种努力：1873年，法国数学家埃尔米特（C．Hermite，1822～l901）证明了自然对数的底 e＝2．7182818…… 是超越数。1882年，德国数学数学家林德曼（Lindemann，1852～1939）证明了圆周率 π＝3．1415926…… 是超越数。1900年，国际数学家大会上提出的希尔伯特23个问题中的第十个就是关于超越数的问题。希尔伯特推测像 这样的数是超越数。1929年，有人证明了 是超越数。1930年， 也被证明是超越数。证明某些数是超越数有着重大的意义，比如说π的超越性的证明就彻底地解决了古希腊三大作图问题中的化圆为方问题，即化圆为方是不可能的。判断某些给定的数是否超越数实在是太困难了，为了获得上述结果，一个多世纪以来，数学家们付出了艰苦的劳动。即便如此，这个领域仍旧迷雾重重。比如说，现在人们仍然无法断定像e＋π和这样的数到底是代数数还是超越数。超越数与代数数有着明显的不同，甚至连运算法则也有区别。比如说，对于代数数成立的加法和乘法消去律，对于超越数来说就不成立。举个例子，如果对三个超越数a，b，c有下式成立：a＋b＝a＋c 但b＝c却不一定成立。类似地，对于这三个数，如果下式成立： a×b＝a×c 但b＝c也不一定成立。更加令人惊讶的是，根据康托的结论，代数数与超越数虽然都是无穷多个，但代数数是可数的而超越数是不可数的，换句话说，人们所知甚少的超越数的个数竟比代数数还要多得多！数学的确是一片浩瀚的海洋，即使是对“数”的自身的研究领域中，竟也蕴含着这许许多多的未知之谜等待着人们去探索其中的答案！